dérivée logarithmique — anatomie d'une formuleLa dérivée logarithmique d'une fonction est la dérivée de son logarithme népérien, souvent écrite f'(x)/f(x). Elle fournit une mesure du taux de variation relatif de la fonction, indépendamment de son échelle globale. Cela la rend particulièrement utile en physique lorsqu'on traite des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur, comme dans la croissance ou la décroissance exponentielle, ou dans l'analyse d'équations différentielles où la valeur absolue importe moins que le taux de variation relatif à la valeur courante.
Le concept a été utilisé implicitement depuis les débuts du calcul infinitésimal, mais il a été formalisé au XIXe siècle dans le cadre de l'analyse complexe et des équations différentielles, notamment dans les travaux de mathématiciens comme Cauchy et Riemann.
Étant donné une fonction f(x), la dérivée logarithmique se calcule comme d/dx [ln f(x)] = f'(x)/f(x). Cette opération simplifie les produits et les puissances : la dérivée logarithmique d'un produit est la somme des dérivées logarithmiques des facteurs, et pour une puissance f(x)^n, elle vaut n fois la dérivée logarithmique de f(x). Cette propriété en fait un outil puissant pour séparer les variables dans les équations différentielles et pour analyser la stabilité des solutions.
Elle apparaît dans l'analyse de la désintégration radioactive, dans l'étude des potentiels logarithmiques en électrostatique, et dans la résolution d'équations différentielles linéaires en mécanique quantique et en dynamique des fluides.
Dans la théorie des fonctions spéciales, la dérivée logarithmique de la fonction gamma est connue sous le nom de fonction digamma, qui apparaît dans de nombreux domaines de la physique et des statistiques.
| n_s | variable | scalar spectral index — indice spectral scalaire |
| P_R | variable | power spectrum of curvature perturbations — spectre de puissance |
| k | variable | wavenumber — nombre d'onde reciprocal metre |
| d/d ln k | opérateur | derivative with respect to natural logarithm of wavenumber — dérivée logarithmique |
| Ω_X | variable | Spectral density of component X — spectral density |
| ρ_tot | variable | Total energy density of the universe — densité d'énergie joule per cubic metre |
| ρ_X | variable | Energy density of component X — densité d'énergie joule per cubic metre |
| k | variable | Wavenumber (logarithmic scale) — nombre d'onde per metre |
| d/d ln k | opérateur | Derivative with respect to the natural logarithm of the wavenumber — dérivée logarithmique |
| β | variable | spectral index of opacity |
| κ | variable | opacity (absorption coefficient) — opacité square metre per kilogram |
| ν | variable | frequency of radiation — fréquence hertz |
| d/d log ν | opérateur | derivative with respect to the natural logarithm of frequency — dérivée logarithmique |
| n | variable | density (or control parameter) — number density per metre cubed |
| R | variable | measured indicator (response) |
| arg max | opérateur | argument of the maximum: value of n that maximizes the expression — argmax operator |
| d log R / d log n | opérateur | logarithmic derivative of R with respect to n, measuring relative sensitivity — dérivée logarithmique |
| w_eff | variable | Effective equation of state parameter — paramètre d'équation d'état |
| rho | variable | Energy density of the cosmic fluid — densité d'énergie joule per cubic metre |
| a | variable | Scale factor of the universe — facteur d'échelle |
| d/d ln a | opérateur | Derivative with respect to the logarithm of the scale factor — dérivée logarithmique |
