Восстановление гравитационного поля Земли по спутниковым данным — классическая обратная задача, известная как проблема продолжения вниз. Рядом с этой работой в архиве лежат исследования, использующие нейросети для анализа гравитационных линз, квантовые часы для регистрации замедления времени и пульсары для проверки гравитационных волн. Все они решают разные аспекты одной большой задачи: как извлечь информацию о гравитации из косвенных измерений. Данная статья стоит на отшибе от соседей по методу: вместо машинного обучения или квантовых эффектов здесь применяется итеративный жадный алгоритм с обучением, который сам выбирает оптимальный набор базисных функций из словаря, содержащего как глобальные сферические гармоники, так и локальные радиальные базисные функции.
Алгоритм LRFMP (Learning Regularized Functional Matching Pursuit) итеративно строит приближение гравитационного потенциала как линейную комбинацию элементов словаря. Словарь включает сферические гармоники (глобальные полиномы), ядра Абеля–Пуассона (низкочастотные фильтры) и вейвлеты Абеля–Пуассона (полосовые фильтры). На каждом шаге алгоритм выбирает один новый элемент, который максимизирует целевую функцию, связанную с функционалом Тихонова. Ключевое усовершенствование для работы с большими данными — вывод замкнутой формы для скалярных произведений двух радиальных базисных функций в пространстве Соболева. Раньше эти произведения вычислялись через усечённые ряды с помощью алгоритма Кленшоу, что занимало большую часть времени. Теперь они выражаются через конечные комбинации производных простой функции, что резко ускоряет вычисления. Эксперименты проводились на данных EGM2008 (до степени 2190) и GRACE-FO (до степени 96) за декабрь 2022 года, спроецированных на кинематические орбиты двух спутников GRACE-FO. Всего использовалось 529 832 точки на орбитах, а для оценки решения — сетка Дрисколла–Хили из 1 662 701 точки.
После 1600 итераций для данных EGM2008 и 1400 для GRACE-FO относительная ошибка данных (RDE) составила около 0,05, что близко к уровню шума 5%. Относительная среднеквадратичная ошибка (RRMSE) на поверхности Земли достигла примерно 17,5% для обоих наборов данных. Это отражает сильную некорректность задачи продолжения вниз: даже при точных данных восстановить высокочастотные детали невозможно из-за экспоненциального затухания сингулярных чисел оператора. Ошибки концентрируются в областях с высокой локальной структурой — Анды, Гималаи, Тихоокеанское огненное кольцо, где коротковолновые компоненты поля теряются при наблюдении с высоты 500 км. Сравнение с предыдущими работами показывает, что метод впервые масштабирован на реалистичное количество данных: раньше использовалось лишь около 12 500 точек на искусственных сетках.
Работа демонстрирует, что LRFMP может обрабатывать объёмы данных, сравнимые с реальными геодезическими задачами, без потери точности. В отличие от соседних исследований, которые либо полагаются на нейросети, либо на квантовые эффекты, здесь используется чисто математический подход с обучаемым словарём. Это первая проверка LRFMP на реалистичной спутниковой геометрии с полумиллионом точек, что делает метод конкурентоспособным для практического использования в геодезии. Гибкость словаря позволяет объединять преимущества глобальных и локальных базисов, избегая как полосатого шума сферических гармоник, так и переобучения масок.
Следующий логический шаг — переход от данных уровня 2 (уже обработанных коэффициентов) к данным уровня 1B или дальномерным измерениям, которые непосредственно регистрируются спутниками. Это потребует изменения оператора T в математической постановке, но, как отмечают авторы, теперь, когда метод справляется с большими данными, такая адаптация становится возможной. Более сложной задачей остаётся учёт реалистичной стохастической модели шума GRACE-FO, которая анизотропна и не сводится к простому мультипликативному шуму. В долгосрочной перспективе алгоритм может быть применён к другим обратным задачам геофизики, например, к восстановлению плотности недр по гравитационным аномалиям.
Метод напрямую повлияет на обработку данных гравитационных спутниковых миссий, таких как GRACE-FO, и на мониторинг изменений климата через наблюдение за перераспределением масс. Он также может быть полезен в смежных областях, где требуется решать некорректные обратные задачи с большими объёмами данных, например, в магнитной томографии или сейсмологии.
Авторы планируют адаптировать LRFMP к данным уровня 1B и дальномерным измерениям, а также исследовать методы выбора параметра регуляризации и минимальное число итераций для достижения сопоставимой точности. Кроме того, предстоит внедрить более реалистичную модель шума.
В геодезии остаётся открытым вопрос о том, как оптимально выбирать базисные функции для представления гравитационного поля без априорных предположений. Данная работа связывает эту проблему с общей теорией некорректных обратных задач, показывая, что обучаемые словари могут заменить фиксированные наборы функций. Это напрямую относится к давней дискуссии о преимуществах сферических гармоник против масок: LRFMP предлагает компромисс, который может снизить систематические ошибки в оценках баланса массы ледников и водоносных горизонтов.
Каждый спутник GRACE-FO совершает примерно 496 оборотов вокруг Земли за декабрь 2022 года, пересекая экватор дважды за виток. Это даёт 1984 точки на экваторе, что соответствует разрешению около 20 км — как если бы вы измеряли гравитацию с шагом в длину Манхэттена.
В романе Артура Кларка «Фонтаны рая» инженеры строят космический лифт, требующий точного знания гравитационного поля Земли. Описанный здесь метод восстановления потенциала по спутниковым данным мог бы стать частью такой технологии.