Очки с ровными стёклами показывают мир симметричным: подъём и спуск, тепло и холод выглядят одинаково. Климатологи десятилетиями смотрели на Эль-Ниньо через такие очки — линейные обратные модели. Они ловили ритм колебаний, но не видели, что тёплая фаза Эль-Ниньо обычно резче и сильнее холодной Ла-Нинья. Перекос оставался за гранью видимого.
Новая работа предлагает изогнуть линзу: добавить в стохастическое дифференциальное уравнение квадратичные члены. Если линейная модель — это плоское стекло, то квадратичная — линза с кривизной, которая фокусирует не только среднее, но и асимметрию. Параметры такой линзы оценивают по корреляционным функциям наблюдаемых данных вплоть до четвёртого порядка. Это как определять форму стекла по тому, как оно преломляет свет с разных углов.
Метод проверили на двумерной синтетической системе, где хаоса нет, и на трёхмерной системе Лоренца, где хаос есть. На реальных данных Эль-Ниньо 3.4 за 1979–2021 годы новая линза дала скошенные распределения: расстояние Вассерштейна для температуры поверхности океана упало с 0.0949 у линейных моделей до 0.0555 у нелинейной с окрашенным шумом. Перекос, который раньше был невидим, проявился.
Теперь климатологи могут разглядывать асимметрию других режимов атмосферы и океана, не довольствуясь симметричными картинками. Линза стала точнее, и мир в ней — ближе к настоящему.
Минимальная размерность для хаоса в автономной дифференцируемой системе равна трём, поэтому авторы сначала проверяют метод на двумерной системе (где хаоса нет), а затем на трёхмерной системе Лоренца.