Объединение измерений разной точности путём взвешивания каждого по обратному квадрату его неопределённости.Средневзвешенное значение — это метод объединения нескольких измерений одной и той же величины, когда эти измерения имеют разную точность. Вместо простого среднего арифметического каждое измерение умножается на вес, обратно пропорциональный его дисперсии (квадрату неопределённости). Это придаёт большее влияние измерениям с меньшими неопределённостями, которые более надёжны. Результат — наилучшая линейная несмещённая оценка истинного значения, если предположить, что измерения независимы, а их ошибки распределены по Гауссу.
Концепция взвешивания по обратной дисперсии восходит к началу XIX века, с вкладом Гаусса и Лежандра в контексте метода наименьших квадратов. Явная формула для средневзвешенного значения является стандартным результатом в теории ошибок.
Для каждого измерения x_i с неопределённостью σ_i вес w_i устанавливается равным 1/σ_i². Средневзвешенное значение тогда равно сумме (w_i * x_i), делённой на сумму w_i. Неопределённость средневзвешенного значения равна квадратному корню из обратной величины суммы весов. Эта формула естественным образом возникает из метода максимального правдоподобия, когда ошибки распределены по Гауссу, и она также является решением, минимизирующим хи-квадрат для постоянной модели.
Используется в физике частиц для объединения измерений масс частиц из разных экспериментов, в метрологии для определения международных стандартов, а также в астрономии для объединения наблюдений с разных телескопов.
Если все неопределённости равны, средневзвешенное значение сводится к обычному среднему арифметическому, так что средневзвешенное значение является строгим обобщением.
