Вода может быть льдом, жидкостью или паром. Физики называют такие состояния фазами. В теории у каждой фазы есть своя мера — способ описать, насколько она вероятна. Но не всякая мера, которую можно вообразить, встречается в природе. Одни фазы настоящие, а другие — лишь математическая иллюзия.
Учёные нашли простой признак, который отделяет реальность от миража. Возьмём систему, которая может находиться в разных состояниях, и посмотрим на её энтропию — меру беспорядка. Если энтропия меняется плавно, без скачков, когда мы переходим от одного состояния к другому, то такое состояние — настоящая фаза. Если же энтропия прыгает, то эта фаза не может существовать в равновесии. Она прячется за выпуклой оболочкой свободной энергии, как мираж за горизонтом.
Этот признак работает не только для привычных систем, но и для очень общих — например, для сдвигов Маркова, которые описывают случайные блуждания. Оказалось, что предыдущая формулировка, предложенная в 2006 году, была неполной. Авторы нашли контрпример и уточнили условие: фаза настоящая, если энтропия непрерывна в каждой точке множества равновесных состояний.
Теперь физики могут заранее сказать, какие фазы стоит искать в эксперименте, а какие — лишь математические призраки. Это помогает не тратить время на погоню за миражами.
как её написали авторы, на английском arXiv:2604.10225
In the variational approach to statistical mechanics, equilibrium states are the rigorous analogues of thermodynamic phases; the question of which invariant measures can arise as equilibrium states is therefore the question of which phases are thermodynamically realizable. We prove that for continuous actions of locally compact amenable groups on compact metrizable spaces with finite topological entropy, an ergodic measure $$\mu$$ is an equilibrium state for some continuous potential if and only if the entropy map $$h$$ is upper semicontinuous at $$\mu$$; equivalently, the unrealizable phases are exactly those hidden behind the convex envelope of the free energy. More generally, the same criterion applies whenever $$(X, T)$$ has bounded entropy and embeds as an invariant subsystem of a compact metrizable system. As a canonical case, one-point compactification yields a $$C_0$$-potential realization theorem for locally compact $$\sigma$$-compact systems, with applications to countable-state Markov shifts. We also show that the equilibrium-face realization stated by Jenkinson (2006) omits a necessary continuity hypothesis, exhibiting a counterexample on the full shift, and give the sharp corrected statement: a weak-$$*$$ closed set $$\mathcal{E}$$ of ergodic measures determines an equilibrium face if and only if $$h|_{\mathcal{E}}$$ is continuous and $$h$$ is upper semicontinuous at each point of $$\mathcal{E}$$.
Понятие фазы пришло из кухни: вода, лёд и пар — это три фазы одного вещества. Но в статистической механике фаз гораздо больше, и некоторые из них невозможно увидеть в обычной жизни.