ансамблевое среднее — из анатомии формулАнсамблевое среднее — это среднее значение физической величины по большому набору одинаково подготовленных систем, называемому ансамблем. В статистической механике оно заменяет среднее по времени для одной системы за длительный период, согласно эргодической гипотезе, которая утверждает, что эти два средних равны. Это понятие является центральным для связи микроскопической динамики с макроскопическими термодинамическими свойствами, такими как температура, давление и энтропия.
Понятие ансамбля было введено Джозайей Уиллардом Гиббсом в его книге «Элементарные принципы статистической механики» (1902 год), на основе более ранних работ Людвига Больцмана и Джеймса Клерка Максвелла. Формулировка Гиббса обеспечила строгий фундамент для статистической механики.
Для заданного распределения вероятностей ρ по возможным микросостояниям системы ансамблевое среднее наблюдаемой A равно ⟨A⟩ = ∫ A(x) ρ(x) dx (или сумме для дискретных состояний). Различные ансамбли соответствуют разным физическим ограничениям: микроканонический ансамбль фиксирует энергию, канонический — температуру, а большой канонический — температуру и химический потенциал. Среднее вычисляется путём взвешивания каждого микросостояния по его вероятности согласно распределению ансамбля.
Ансамблевые средние используются в молекулярно-динамических симуляциях для вычисления свойств материалов, в методах Монте-Карло для статистической физики, а также в машинном обучении для оценки ожидаемых значений по распределениям данных.
В квантовой статистической механике ансамблевое среднее наблюдаемой вычисляется как след произведения матрицы плотности и наблюдаемой, что связывает оператор следа с этим понятием.
| ⟨hν⟩ | переменная | Средняя энергия фотона — энергия Дж |
| T | переменная | Температура абсолютно чёрного тела — температура К |
| c | константа | Численный фактор, зависящий от пределов интегрирования по частотам и конкретного определения «среднего» (например, по полному спектру). — proportionality constant = 2.701 |
| k_B | константа | Фундаментальная константа, переводящая температуру в шкалу энергии — постоянная Больцмана = 1.380649e-23 Дж/К |
| ⟨ ⟩ | оператор | Статистическое усреднение по распределению фотонов — ансамблевое среднее |
| C_{lm l'm'} | переменная | Коэффициенты углового спектра мощности — angular power spectrum |
| a_{lm} | переменная | Коэффициенты сферических гармоник карты температур — spherical harmonic coefficient К |
| ⟨ ⟩ | оператор | Среднее по ансамблю реализаций — ансамблевое среднее |
| * | оператор | Комплексное сопряжение — complex conjugate |
| η_i(t) | переменная | член шума в момент времени t для компоненты i — noise Н |
| η_j(t') | переменная | член шума в момент времени t' для компоненты j — noise Н |
| T | переменная | температура — температура К |
| γ | переменная | коэффициент диссипации — dissipation coefficient кг/с |
| δ_ij | переменная | символ Кронекера — kronecker delta |
| δ(t-t') | переменная | дельта-функция Дирака — dirac delta function 1/с |
| k_B | константа | связывает энергию с температурой — постоянная Больцмана = 1.380649e-23 Дж/К |
| ⟨...⟩ | оператор | усреднение по множеству реализаций — ансамблевое среднее |
| C(t) | переменная | Нормированная автокорреляционная функция наблюдаемой A — корреляционная функция |
| A(t) | переменная | Значение наблюдаемой A в момент времени t — наблюдаемая величина varies |
| A(0) | переменная | Значение наблюдаемой A в начальный момент времени — наблюдаемая величина varies |
| ⟨...⟩ | оператор | Усредняет произведение по статистическому ансамблю начальных условий — ансамблевое среднее |
| MSD | переменная | Средний квадрат смещения — mean squared displacement м² |
| τ | переменная | Временной лаг — время с |
| x | переменная | Положение частицы — положение м |
| t | переменная | Время — время с |
| ⟨ ⟩ | оператор | Среднее по ансамблю по многим траекториям или частицам — ансамблевое среднее |
| [ ] | оператор | Разность положений в два момента времени — разность |
| ² | оператор | Квадрат смещения — square |
