Формула Эйлера — это математическое уравнение, устанавливающее глубокую связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспонентой.Леонард Эйлер в 1748 году опубликовал формулу, соединяющую алгебру, геометрию и анализ: e^{iθ} = cos θ + i sin θ. Она следует из разложения функций в степенные ряды. Эйлер осознал, что экспонента с мнимым показателем ведёт себя как точка, бегущая по окружности, — это стало связующим звеном между алгеброй и геометрией. Тождество e^{iπ} + 1 = 0 собрало в одном уравнении e, i, π, 1 и 0, и многие считают его самым красивым в математике. Формула Эйлера стала основой для анализа колебаний, волн и квантовых состояний.
Эйлер вывел формулу в 1748 году, разлагая e^x, sin x и cos x в ряды Тейлора и подставляя ix. Это открытие легло в фундамент комплексного анализа (Коши, Риман). В 1920-е годы Шрёдингер применил её для описания волновых функций, связав временную эволюцию с оператором энергии через производную от экспоненты.
В электротехнике замена синусоидальных величин на комплексные экспоненты превращает дифференциальные уравнения в алгебраические. В обработке сигналов преобразование Фурье разлагает функции в сумму экспонент с мнимыми показателями. Границы: представление справедливо для аналитических функций; в нестандартных анализах экспонента определяется аксиоматически. В квантовой теории поля бесконечномерные обобщения требуют регуляризации.
Формула Эйлера позволяет инженерам анализировать переменный ток в цепях и создавать реалистичную графику с вращающимися объектами, а также сжимать изображения в JPEG.
Одним из поклонников тождества Эйлера был физик Ричард Фейнман, называвший его «самой замечательной формулой в математике», а опросы математиков часто ставят e^{iπ} + 1 = 0 на первое место по красоте.
| f | переменная | однородная функция степени n — homogeneous function |
| x | переменная | независимая переменная — variable |
| n | переменная | степень однородности — degree |
| f'(x) | оператор | производная f по x — производная |
| α | переменная | Показатель степени (тот же, что и в степенном законе) |
| K | переменная | Параметр Латтинджера — luttinger parameter |