derivada parcial — de la anatomía de las fórmulasUna derivada parcial mide cómo cambia una función cuando solo se varía una de sus múltiples variables, mientras las demás se mantienen constantes. Es una piedra angular del cálculo multivariable y aparece en toda la física, desde la termodinámica (donde presión, volumen y temperatura son interdependientes) hasta las teorías de campos (donde los campos dependen del espacio y el tiempo). La notación ∂f/∂x denota la derivada parcial de f con respecto a x.
El concepto se desarrolló en el siglo XVIII por matemáticos como Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange, quienes extendieron el cálculo diferencial a funciones de varias variables. La notación moderna ∂ fue introducida por el marqués de Condorcet en 1770 y popularizada por Carl Gustav Jacob Jacobi en el siglo XIX.
Para calcular una derivada parcial, trata todas las variables excepto la de interés como constantes y deriva como en el cálculo ordinario. Por ejemplo, si f(x, y) = x²y + sin(y), entonces ∂f/∂x = 2xy, y ∂f/∂y = x² + cos(y). Las derivadas parciales se usan para construir gradientes, divergencias y rotacionales en el cálculo vectorial, y aparecen en ecuaciones diferenciales como la ecuación de onda y la ecuación de Schrödinger.
Las derivadas parciales se utilizan en optimización (por ejemplo, el descenso de gradiente en el aprendizaje automático), en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales para la dinámica de fluidos y el electromagnetismo, y en el análisis de propagación de errores en la física experimental.
En termodinámica, las cuatro relaciones de Maxwell se derivan de la igualdad de las derivadas parciales mixtas, conectando cantidades como temperatura, presión, entropía y volumen.
| c_s | variable | sound speed — sound speed metre per second |
| P | variable | pressure of the scalar field — presión pascal |
| X | variable | kinetic term, -1/2 (∂φ)^2 — kinetic energy density joule per cubic metre |
| P_X | variable | partial derivative of P with respect to X — derivada parcial |
| P_XX | variable | second partial derivative of P with respect to X — second partial derivative |
| v | variable | null coordinate (e.g., advanced time) — null coordinate metre |
| r | variable | radial coordinate — coordenada radial metre |
| ∂_v | operador | differentiates with respect to the null coordinate — derivada parcial |
| P | variable | Probability density — probability density per metre cubed |
| \Psi | variable | Wave function — función de onda per metre cubed half |
| \Psi^* | variable | Complex conjugate of wave function — wave function conjugate per metre cubed half |
| t | variable | Time — tiempo second |
| \frac{\partial}{\par | operador | Partial derivative with respect to time — derivada parcial |
| ψ | variable | wave function of the quantum particle — función de onda metre to the minus 3 over 2 |
| t | variable | time — tiempo second |
| V | variable | potential energy (here self-gravitating) — energía potencial joule |
| m | variable | mass of the particle — masa kilogram |
| ħ | constante | Reduced Planck constant, fundamental quantum of action — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| ∂/∂t | operador | partial derivative with respect to time — derivada parcial |
| ∇² | operador | Laplacian (spatial second derivative) — laplacian operator |
| β_ρ | variable | beta function for ρ joule per cubic metre |
| M | variable | renormalization scale — energía joule |
| ρ | variable | running parameter joule per cubic metre |
| ∂/∂M | operador | partial derivative with respect to scale M — derivada parcial |
| ΔT | variable | temperature change — temperatura kelvin |
| T | variable | absolute temperature — temperatura kelvin |
| C_p | variable | heat capacity at constant pressure — capacidad calorífica joule per kelvin |
| S | variable | entropy — entropía joule per kelvin |
| ΔP | variable | pressure change — presión pascal |
| ∂/∂P | operador | partial derivative with respect to pressure at constant temperature — derivada parcial |