función exponencial — de la anatomía de la fórmulaLa función exponencial, a menudo escrita como exp(x) o e^x, es una función matemática en la que la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual. Se define como la única función que es su propia derivada, con base e (aproximadamente 2.71828). Esta función aparece en toda la física siempre que una cantidad cambia a una tasa proporcional a sí misma, como en la desintegración radiactiva, el crecimiento de poblaciones o el enfriamiento de un objeto caliente.
La función exponencial fue introducida por Leonhard Euler en el siglo XVIII, quien también estableció la relación e^(iπ) + 1 = 0, vinculándola con la trigonometría y los números complejos.
La función exponencial se puede definir mediante la serie infinita e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ..., que converge para todo x real y complejo. Su propiedad definitoria, d/dx e^x = e^x, la convierte en la solución de la ecuación diferencial dy/dx = ky, donde k es una constante. Esta ecuación modela procesos en los que la tasa de cambio es proporcional a la cantidad presente, lo que conduce a crecimiento exponencial (k>0) o decaimiento (k<0).
Las funciones exponenciales se utilizan en física para describir la desintegración radiactiva, la descarga de capacitores, la presión atmosférica con la altitud y la evolución temporal de estados cuánticos en forma de exponenciales complejas.
La función exponencial es tan importante que aparece en la ecuación de Schrödinger, donde la evolución temporal de un estado cuántico viene dada por una exponencial compleja del hamiltoniano.
| f(x_i) | variable | model prediction at input x_i — valor de la función |
| y_i | variable | observed data point — data value |
| σ_i | variable | standard deviation of measurement error — desviación estándar |
| ∏ | operador | Product over all data points i — operador producto |
| exp | operador | Exponential function — función exponencial |
| N_i | variable | Number of particles in state i — número de partículas |
| N | variable | Total number of particles — número de partículas |
| g_i | variable | Degeneracy of state i — degeneración |
| E_i | variable | Energy of state i — energía joule |
| T | variable | Absolute temperature — temperatura kelvin |
| k | constante | Relates energy to temperature at the particle level — constante de Boltzmann = 1.380649e-23 joule per kelvin |
| e^{-E_i/kT} | operador | Exponential of the negative energy over kT — función exponencial |
| x | variable | input point — input variable |
| x' | variable | another input point — input variable |
| σ | variable | signal amplitude — amplitud |
| ℓ | variable | length scale — length scale |
| exp | operador | raises e to the given power — función exponencial |
| s | variable | sigmoid function value — sigmoid function |
| ζ | variable | input argument — argument |
| a | variable | steepness parameter — steepness parameter |
| exp | operador | raises e to the given power — función exponencial |
| P(v) | variable | Probability density of speed v — probability density second per metre |
| v | variable | Speed of a particle — rapidez metre per second |
| σ | variable | Scale parameter related to temperature — speed scale metre per second |
| exp | operador | Exponential function — función exponencial |
| √ | operador | Square root — raíz cuadrada |