segunda derivada — anatomía de la fórmulaLa segunda derivada mide cómo cambia la tasa de cambio de una cantidad. Si la primera derivada de una función te indica su pendiente o velocidad, la segunda derivada te indica la pendiente de la pendiente: la aceleración de la cantidad. En física aparece por todas partes: la segunda ley de Newton relaciona la fuerza con la segunda derivada de la posición (aceleración), y la ecuación de onda vincula las segundas derivadas espacial y temporal.
El concepto surgió con el desarrollo del cálculo a finales del siglo XVII, principalmente gracias a Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, quienes formalizaron las derivadas de cualquier orden.
Para una función f(x), la primera derivada f'(x) da la tasa de cambio instantánea. La segunda derivada f''(x) es la derivada de f'(x), calculada aplicando nuevamente el mismo proceso de límite. Geométricamente, indica la concavidad: positiva significa que la función se curva hacia arriba, negativa hacia abajo, y cero marca un punto de inflexión. En el movimiento, si x(t) es la posición, entonces x''(t) es la aceleración: qué tan rápido cambia la velocidad.
Se usa en ingeniería para el análisis de vibraciones (la segunda derivada del desplazamiento da la aceleración), en economía para los rendimientos marginales, y en física para derivar ecuaciones de movimiento y propagación de ondas.
La segunda derivada de una línea recta es siempre cero, por eso el movimiento a velocidad constante se siente suave: no hay aceleración.
| f''(x) | variable | Second derivative of function f at x — segunda derivada per metre squared |
| f(x+h) | variable | Function value at x+h — valor de la función |
| f(x-h) | variable | Function value at x-h — valor de la función |
| f(x) | variable | Function value at x — valor de la función |
| h | variable | Step size — spacing metre |
| \approx | operador | Approximately equal to — aproximación |
| \psi | variable | wave function — función de onda |
| x | variable | position coordinate — posición metre |
| k | variable | wave number — número de onda per metre |
| V(x) | variable | potential function — energía potencial joule |
| \frac{d^2}{dx^2} | operador | second derivative with respect to position — segunda derivada |
| ψ | variable | wave function — función de onda |
| x | variable | position coordinate — posición metre |
| V(x) | variable | potential energy function — energía potencial joule |
| E | variable | energy eigenvalue — energía joule |
| d²/dx² | operador | second derivative with respect to position — segunda derivada |
| V | variable | effective potential — energía potencial joule |
| f | variable | function whose curvature defines the potential |
| x | variable | independent variable — posición metre |
| d²/dx² | operador | second derivative with respect to x — segunda derivada |
| z | variable | scale factor or redshift depending on context — factor de escala |
| ν | variable | Hankel index — hankel index |
| τ | variable | conformal time — conformal time second |
| '' | operador | second derivative with respect to the independent variable (here, conformal time) — segunda derivada |
