La constante fundamental ħ, igual a la constante de Planck dividida por 2π, central en la mecánica cuántica.La constante de Planck reducida, escrita como ħ (h-barra), es la constante de Planck h dividida por 2π. Es la unidad fundamental de acción en mecánica cuántica, estableciendo la escala en la que los efectos cuánticos se vuelven dominantes. Mientras que la constante de Planck aparece en la relación energía-frecuencia E = hν, la forma reducida surge naturalmente en el momento angular, la mecánica ondulatoria y la ecuación de Schrödinger, donde las fases avanzan 2π por longitud de onda.
Introducida por Paul Dirac en sus artículos de 1926 sobre mecánica cuántica, quien la denotó como h/2π para simplificar las ecuaciones eliminando el factor recurrente 2π.
En mecánica cuántica, ħ cuantiza el momento angular: el momento angular de cualquier sistema es un múltiplo entero o semientero de ħ. También aparece en el principio de incertidumbre Δx·Δp ≥ ħ/2, y en la relación de De Broglie p = ħk, donde k es el número de onda. El factor 2π surge porque un ciclo completo de una onda corresponde a 2π radianes, haciendo de ħ la unidad natural para el volumen del espacio de fases.
Se utiliza en todos los cálculos de mecánica cuántica, desde los niveles de energía atómicos y la física de semiconductores hasta la computación cuántica y el modelo estándar de la física de partículas.
El valor de ħ es aproximadamente 1.0545718 × 10⁻³⁴ julios-segundo, tan pequeño que un objeto macroscópico como una pelota de béisbol tiene un momento angular de alrededor de 10³⁴ ħ.
| E_n | variable | Energy of the nth level — energía joule |
| n | variable | Quantum number (non-negative integer) — número cuántico |
| \hbar | constante | Reduced Planck constant — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| \omega | constante | Angular frequency of the oscillator — frecuencia angular radian per second |
| \Delta x | variable | Standard deviation of position — incertidumbre de posición metre |
| \Delta p | variable | Standard deviation of momentum — momentum uncertainty kilogram metre per second |
| \hbar | constante | Reduced Planck constant — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| T | variable | tunneling probability — transmission probability |
| z1 | variable | left turning point of the barrier — posición metre |
| z2 | variable | right turning point of the barrier — posición metre |
| m | variable | mass of the tunneling particle — masa kilogram |
| V | variable | potential energy as a function of position — energía potencial joule |
| E | variable | energy of the particle — energía joule |
| ħ | constante | fundamental quantum of action divided by 2π — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| ∫ | operador | sums the integrand over the interval — integral |
| √ | operador | takes the non-negative root — raíz cuadrada |
| exp | operador | raises e to the given power — exponential |
| ρ | variable | density matrix of the open quantum system — matriz de densidad |
| t | variable | time — tiempo second |
| H | variable | Hamiltonian of the system — hamiltoniano joule |
| L_n | variable | Lindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator |
| i | constante | imaginary unit, square root of -1 — unidad imaginaria = 1 |
| ħ | constante | Planck constant divided by 2π — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| d/dt | operador | derivative with respect to time — derivada temporal |
| [H, ρ] | operador | commutator of H and ρ — conmutador |
| {L_n† L_n, ρ} | operador | anticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator |
| ∑_n | operador | sum over all dissipation channels — sum over channels |
| P | variable | Detection probability of a particle — probabilidad |
| M | variable | Mass of the particle — masa kilogram |
| a | variable | Proper acceleration of the detector — acceleration metre per second squared |
| c | constante | Speed of light in vacuum — velocidad de la luz = 299792458 metre per second |
| ħ | constante | Reduced Planck constant — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| ψ | variable | Quantum wave function — función de onda metre to the minus 3 over 2 |
| R | variable | Real amplitude of the wave function — probability amplitude metre to the minus 3 over 2 |
| S | variable | Phase of the wave function (action) — acción joule second |
| ℏ | constante | Fundamental constant setting the scale of quantum phenomena — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| e^{iS/ℏ} | operador | Complex phase factor encoding the oscillatory behaviour — complex exponential |
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