derivada logarítmica — de la anatomía de la fórmulaLa derivada logarítmica de una función es la derivada de su logaritmo natural, a menudo escrita como f'(x)/f(x). Proporciona una medida de la tasa de cambio relativa de la función, independiente de su escala global. Esto la hace especialmente útil en física cuando se trabaja con cantidades que varían a lo largo de muchos órdenes de magnitud, como en el crecimiento o decaimiento exponencial, o en el análisis de ecuaciones diferenciales donde el valor absoluto es menos importante que la tasa de cambio relativa al valor actual.
El concepto se ha utilizado implícitamente desde los primeros días del cálculo, pero fue formalizado en el siglo XIX en el contexto del análisis complejo y las ecuaciones diferenciales, particularmente en el trabajo de matemáticos como Cauchy y Riemann.
Dada una función f(x), la derivada logarítmica se calcula como d/dx [ln f(x)] = f'(x)/f(x). Esta operación simplifica productos y potencias: la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores, y para una potencia f(x)^n es n veces la derivada logarítmica de f(x). Esta propiedad la convierte en una herramienta poderosa para separar variables en ecuaciones diferenciales y para analizar la estabilidad de las soluciones.
Aparece en el análisis del decaimiento radiactivo, en el estudio de los potenciales logarítmicos en electrostática y en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales en mecánica cuántica y dinámica de fluidos.
En la teoría de funciones especiales, la derivada logarítmica de la función gamma se conoce como la función digamma, que aparece en muchas áreas de la física y la estadística.
| n_s | variable | scalar spectral index — índice espectral escalar |
| P_R | variable | power spectrum of curvature perturbations — espectro de potencia |
| k | variable | wavenumber — número de onda reciprocal metre |
| d/d ln k | operador | derivative with respect to natural logarithm of wavenumber — derivada logarítmica |
| Ω_X | variable | Spectral density of component X — spectral density |
| ρ_tot | variable | Total energy density of the universe — densidad de energía joule per cubic metre |
| ρ_X | variable | Energy density of component X — densidad de energía joule per cubic metre |
| k | variable | Wavenumber (logarithmic scale) — número de onda per metre |
| d/d ln k | operador | Derivative with respect to the natural logarithm of the wavenumber — derivada logarítmica |
| β | variable | spectral index of opacity |
| κ | variable | opacity (absorption coefficient) — opacidad square metre per kilogram |
| ν | variable | frequency of radiation — frecuencia hertz |
| d/d log ν | operador | derivative with respect to the natural logarithm of frequency — derivada logarítmica |
| n | variable | density (or control parameter) — number density per metre cubed |
| R | variable | measured indicator (response) |
| arg max | operador | argument of the maximum: value of n that maximizes the expression — argmax operator |
| d log R / d log n | operador | logarithmic derivative of R with respect to n, measuring relative sensitivity — derivada logarítmica |
| w_eff | variable | Effective equation of state parameter — parámetro de la ecuación de estado |
| rho | variable | Energy density of the cosmic fluid — densidad de energía joule per cubic metre |
| a | variable | Scale factor of the universe — factor de escala |
| d/d ln a | operador | Derivative with respect to the logarithm of the scale factor — derivada logarítmica |
