Световой луч скользит вдоль горизонта чёрной дыры — той невидимой границы, откуда ничто не может вырваться. Чем ближе луч к горизонту, тем медленнее тянется его собственное «время» — особая мера пути, называемая аффинным параметром. Этот параметр нарастает не плавно, а взрывным образом, как снежный ком, катящийся с горы: каждый следующий миг приносит всё больший прирост. Именно в таком взрывном законе спрятана температура чёрной дыры.
В работе показано, что поверхностная гравитация — величина, задающая нагрев дыры, — определяется через так называемую производную Шварца. Этот математический инструмент, словно чуткий измеритель кривизны, улавливает, насколько сильно «рвётся» ритм световых лучей. Если аффинный параметр растёт как степенная функция, производная Шварца выдаёт постоянное число, и это число — квадрат поверхностной гравитации. Так температура перестаёт быть загадочным свойством материи и становится отпечатком геометрии самого горизонта.
Авторы проверили идею на модели с переменной массой: даже когда чёрная дыра «худеет» или «полнеет», связь между поверхностной гравитацией и производной Шварца сохраняется. Это намёк на то, что термодинамика чёрных дыр — температура, излучение, энтропия — может быть полностью выведена из проективной геометрии горизонта. Если так, то чёрная дыра подобна музыкальному инструменту, чей звук (тепловое излучение) целиком задан формой резонатора (горизонтом).
Производная Шварца обязана именем немецкому математику Герману Шварцу, но в физику она вошла через теорию струн и конформные теории поля — и вот теперь помогает понимать чёрные дыры.
В романе «Гиперион» Дэна Симмонса Гробницы Времени окружены антиэнтропийным полем — словно геометрия там диктует собственные законы термодинамики, как и в случае горизонта чёрной дыры.