Теорема КАМ утверждает, что при малых возмущениях большинство инвариантных торов в интегрируемых гамильтоновых системах сохраняется.В 1954 году Andrey Kolmogorov предложил идею, а Vladimir Arnold и Jürgen Moser в 1960-х строго доказали, что в гамильтоновых системах (где энергия сохраняется) при малых возмущениях сохраняются так называемые инвариантные торы — многомерные поверхности, на которых движение остаётся регулярным. Это похоже на слоёный пирог: одни слои (торы) могут выдержать легкую встряску, а другие — разрушиться в крошево хаоса. Теорема установила границу между порядком и хаосом.
В 1954 году советский математик Andrey Kolmogorov сформулировал теорему о сохранении условно-периодических движений при малых возмущениях. Его ученик Vladimir Arnold дал строгое доказательство для аналитических систем (1963), а Jürgen Moser одновременно и независимо распространил его на гладкие отображения (1962), используя технику сглаживания. Эти работы заложили основы современной теории динамических систем и хаоса.
Теорема широко применяется в небесной механике, физике плазмы и ускоряющейся технике для анализа долговременной устойчивости. Границы: требует достаточно малого возмущения и гладкости, а также частоты, удовлетворяющей диофантовым условиям. При сильных возмущениях торы разрушаются, открывая путь к глобальному хаосу (явление Арнольда).
Предсказание устойчивости планетных орбит в Солнечной системе на миллиарды лет и проектирование ускорителей частиц.
Именно теорема КАМ объясняет, почему кольца Сатурна имеют чётко очерченные просветы — резонансные возмущения от спутников разрушают регулярные орбиты частиц в этих зонах.
| i | переменная | индекс для группы K-теории (0 или 1) — index |
| j | переменная | индекс степени гомологий — index |
| \bigoplus | оператор | объединяет несколько абелевых групп в одну — direct sum |
