Математический функционал, описывающий динамику физической системы.В физике действие — это скалярная величина, которая обобщает всю динамику системы. Оно определяется как интеграл по времени от лагранжиана, который представляет собой разность между кинетической и потенциальной энергией. Принцип стационарного действия утверждает, что реальный путь, по которому движется система между двумя точками, — это тот, для которого действие стационарно (обычно минимально). Этот принцип элегантно объединяет классическую механику, электромагнетизм и даже общую теорию относительности, предоставляя мощный инструмент для вывода уравнений движения.
Концепция была введена Пьером Луи Мопертюи в 1740-х годах, с последующими уточнениями Леонарда Эйлера и Жозефа-Луи Лагранжа. Современная формулировка с использованием лагранжиана была разработана Лагранжем в 1780-х годах, а принцип стационарного действия был полностью сформулирован Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1830-х годах.
Для данной системы вы записываете лагранжиан, затем интегрируете его по времени, чтобы получить функционал действия. Применяя вариационное исчисление, вы требуете, чтобы малые вариации пути оставляли действие неизменным с точностью до первого порядка. Это приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые и являются уравнениями движения. Подход через действие особенно полезен, поскольку он не зависит от выбора координат и может быть распространен на квантовую механику с помощью интегралов по траекториям.
Принципы действия используются в теоретической физике для вывода уравнений поля, в вычислительной физике для вариационных методов, а также в развитии квантовой теории поля, где формулировка через интегралы по траекториям опирается на действие.
Действие имеет единицы измерения энергии, умноженной на время, что совпадает с постоянной Планка, что делает его естественным мостом между классической и квантовой физикой.
| ψ | переменная | Квантовая волновая функция — волновая функция м⁻³ᐟ² |
| R | переменная | Действительная амплитуда волновой функции — probability amplitude м⁻³ᐟ² |
| S | переменная | Фаза волновой функции (действие) — действие Дж·с |
| ℏ | константа | Фундаментальная постоянная, задающая масштаб квантовых явлений — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с |
| e^{iS/ℏ} | оператор | Комплексный фазовый множитель, описывающий осцилляторное поведение — complex exponential |
| S | переменная | Действие — действие Дж·с |
| g | переменная | Определитель метрического тензора — metric determinant |
| R | переменная | Скалярная кривизна Риччи — ricci scalar 1/м² |
| d^4x | переменная | Элемент объёма четырёхмерного пространства-времени — spacetime volume element м⁴ |
| G | константа | Гравитационная постоянная Ньютона — гравитационная постоянная = 6.67430e-11 м³/(кг·с²) |
| \int | оператор | Интегрирование по пространству-времени — интегральный оператор |
| S_E | переменная | Евклидово действие — действие Дж·с |
| L_E | переменная | Евклидов лагранжиан — лагранжиан Дж |
| τ | переменная | Евклидово время — время с |
| ∫ | оператор | Интегрирование по евклидову времени — интегральный оператор |
| dτ | оператор | Инфинитезимальный элемент времени — differential element |
| Ψ | переменная | квантовая амплитуда (амплитуда перехода или волновая функция) — probability amplitude varies |
| φ | переменная | конфигурация поля (переменная пути) — поле varies |
| S[φ] | переменная | функционал действия от конфигурации поля — действие Дж·с |
| ℏ | константа | Задаёт масштаб квантовых флуктуаций — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с |
| ∫ 𝒟φ | оператор | суммирование по всем возможным историям поля — functional integral |
| \Gamma | переменная | Скорость туннелирования (вероятность в единицу времени) — rate 1/с |
| S | переменная | Евклидово действие отскокового решения — действие Дж·с |
| \propto | оператор | Означает пропорциональность — proportional to |
| e^{-S} | оператор | Экспоненциальная функция с показателем -S — exponential |
| S | переменная | Действие теории — действие Дж·с |
| g | переменная | Определитель метрического тензора пространства-времени — metric determinant |
| φ | переменная | Скалярное поле, не минимально связанное с гравитацией — скалярное поле |
| R | переменная | Скалярная кривизна Риччи — ricci scalar 1/м² |
| ∂φ | переменная | Градиент скалярного поля — field gradient 1/м |
| ∫ d⁴x | оператор | Интегрирование по четырехмерному пространству-времени — four dimensional integral |
| √(-g) | оператор | Множитель элемента объема для искривленного пространства-времени — sqrt negative metric determinant |
| (∂φ)² | оператор | Кинетический член скалярного поля, свертка его градиента с самим собой — kinetic term |







