Una gota de miel se extiende lentamente sobre la mesa; el agua, rápido. La resistencia al flujo, la viscosidad, es diferente para cada líquido. Pero, ¿y si la viscosidad cambia sobre la marcha, a medida que la sustancia se comprime o se expande? Así se comportan muchos gases, y las ecuaciones que describen su movimiento, las ecuaciones de Navier-Stokes, se vuelven casi insoportablemente complejas.
Los autores del trabajo consideraron el caso en que la viscosidad depende de la densidad del gas según una ley de potencia: cuanto más denso es el gas, más viscoso es (el exponente es mayor que 1/2 pero menor que 1). Y examinaron una esfera de gas que simplemente desaparece en el infinito: la densidad cae a cero. Este 'vacío lejano' es algo común en las atmósferas de los planetas o en las nubes de gas interestelar. Pero para un matemático es una pesadilla: las ecuaciones degeneran y no está claro si tienen solución alguna.
Resultó que incluso con perturbaciones iniciales muy grandes, por ejemplo, cuando una esfera de gas se comprime bruscamente, la solución permanece suave y existe durante un tiempo arbitrariamente largo. Esto funciona tanto en el plano como en el espacio tridimensional. El truco principal fue evitar tres trampas a la vez: la degeneración en el vacío, la singularidad en el centro de la esfera (donde las coordenadas se colapsan) y la viscosidad no lineal. La herramienta matemática que inventaron para esto también sirve para el caso en que la densidad no cae a cero en ningún punto, es decir, para un gas en un recipiente cerrado.
tal como lo escribieron los autores, en inglés arXiv:2605.17121
For the physically important case in which the viscosity coefficients depend on the density $$\rho$$ through a power law (i.e., $$\rho^\delta$$ with some exponent $$\delta \in (\frac{1}{2},1)$$), we establish the global well-posedness of regular solutions of the compressible Navier-Stokes equations for barotropic flow with large initial data of spherical symmetry in two and three spatial dimensions. The initial density considered here is positive everywhere but vanishes in the far field, ensuring that the resulting solutions satisfy the conservation laws of total mass and momentum. The most crucial step in our analysis is to obtain a uniform upper bound for the density, which is challenging due to the combined difficulties of degeneracy near the far-field vacuum, coordinate singularity at the origin, and nonlinearity of viscosity coefficients. Furthermore, the methodology developed here can also be applied to the corresponding problem in which the density remains strictly away from the vacuum.
Las ecuaciones de Navier-Stokes son tan difíciles que se ha ofrecido un premio de un millón de dólares por demostrar la existencia y suavidad de sus soluciones en el caso tridimensional: es uno de los siete problemas del milenio.
En la novela 'Solaris' de Stanislaw Lem, el océano del planeta se comporta como un líquido con viscosidad variable, obedeciendo ecuaciones desconocidas.