Análisis de EDP math.AP

El océano Pacífico, de diez mil kilómetros de ancho, respira: el agua cálida se desplaza hacia el este, la fría retrocede, y esa inhalación y exhalación se repite cada pocos años. Un modelo que describa esa respiración requiere semanas de cálculo incluso en una supercomputadora.

Una placa delgada se coloca transversal al flujo de agua o aire. Detrás de ella nace una estela: una zona donde el flujo se enreda y se mezcla. Normalmente, esta estela se vuelve turbulenta cuando la velocidad del flujo es suficientemente alta, y la medida de esto es el número de Reynolds.

Una epidemia se parece a un incendio forestal: el fuego corre hacia donde hay más ramas secas. Del mismo modo, un virus se propaga más rápido donde la gente vive más apiñada. Pero los viejos modelos matemáticos describían el contagio como una mancha de tinta que se extiende uniformemente sobre el papel.

El sistema linfático es como una red de canales urbanos por la que el agua se mueve lentamente, arrastrando la basura de los tejidos. Pero no tiene un único corazón que lo bombee. En su lugar, a lo largo de los vasos hay pequeñas estaciones de esclusas: los linfangiones. Cada una de estas esclusas se contrae por sí sola, como un puño, y empuja el líquido hacia adelante.

La célula es una ciudad con puertas. Cada puerta es un canal proteico en la membrana: a través de él entran y salen iones, azúcares, moléculas señalizadoras. Algunas puertas están casi siempre abiertas; otras se abren y se cierran al azar, como las puertas del metro, que a veces dejan pasar al pasajero y a veces se cierran de golpe.

El agua que gira en un remolino deja de ser lisa en algún momento: aparecen espuma y salpicaduras. Los matemáticos describen estos flujos con ecuaciones, pero hay un enigma: a veces la solución 'explota', se vuelve infinita, y nadie sabe por qué. El modelado estocástico no ayuda aquí; se necesita una herramienta precisa.

Cada concha es un diario de crecimiento en piedra. El molusco no la construye según un plano, como un arquitecto, sino que simplemente añade material por el borde, siguiendo siempre la misma regla. Es como si un caracol pegara cada día una nueva tira a su casita, desplazándola un poco hacia un lado y aumentando el tamaño. Es esa repetición, y no un control complejo, la que crea la forma característica de la especie.

Una multitud en una plaza de la ciudad se comporta de manera diferente según si las personas se toman de las manos. Si cada uno solo roza ligeramente el codo del vecino, la gente se dispersa fácilmente en todas direcciones: la multitud se expande como una alfombra uniforme.

Un funambulista avanza sobre una cuerda tensa. Cada paso es una búsqueda del equilibrio, un cálculo instantáneo de fuerzas. De manera similar, las ecuaciones de Einstein describen cómo la materia y la energía hacen que el espacio-tiempo se curve.

Una gota de miel se extiende lentamente sobre la mesa; el agua, rápido. La resistencia al flujo, la viscosidad, es diferente para cada líquido. Pero, ¿y si la viscosidad cambia sobre la marcha, a medida que la sustancia se comprime o se expande?

Una sábana estirada forma pliegues. Si tiras de una esquina, corre una onda uniforme; si comprimes la tela bruscamente, se produce un doblez agudo. Más o menos así se comportan el espacio y el tiempo en las ecuaciones de Einstein.

En el centro de muchas galaxias se esconden gigantescos agujeros negros en rotación. Los astrofísicos sospechaban desde hace tiempo que estos objetos son sorprendentemente resistentes: tras engullir una estrella o fusionarse con otro agujero, se calman rápidamente y olvidan la catástrofe.

El número −0.000459 no es un invitado casual en la ecuación de Blasius. Es el coeficiente de η⁵, que define la capa límite sobre una placa plana: el susurro tenue del roce del aire sobre el metal. Los métodos numéricos habituales, como Runge-Kutta, solo entregan una curva aproximada.

Una piedra cae en un estanque. Los círculos se expanden, se debilitan y pronto desaparecen. Pero si el estanque fuera infinito y el agua perfecta, la perturbación duraría eternamente, desvaneciéndose poco a poco. En física, estos restos que se atenúan se llaman «colas»: viven mucho después de que la onda principal se ha ido.

Dos depósitos de tinta se encuentran a ambos lados de la unión celular. De ellos fluyen hacia la membrana dos tipos de monómeros que, al encontrarse, forman gotas viscosas de complejos. Las gotas apenas se mueven, mientras que los monómeros libres se desplazan rápidamente, como moléculas de perfume en una habitación.

En 1934 Jean Leray demostró que las ecuaciones de Navier–Stokes siempre tienen soluciones «en sentido generalizado». Si la solución sigue suave o puede romperse en una singularidad, no lo supo, y nadie lo supo en noventa años. En 2000 el Instituto Clay incluyó la pregunta entre sus siete problemas del Milenio.