En 1998, el matemático David Boyd notó algo extraño. Estudiaba la medida de Mahler de un polinomio —una cantidad que mide la "complejidad" de sus raíces— y descubrió que para una familia de curvas siempre se expresa como un número racional especial racional multiplicado por el valor de la derivada de la función L. Estos números multiplicadores, denotados $r_k$, parecían fracciones aleatorias, pero Boyd conjeturó que detrás de ellos se esconde un orden estricto.
Ahora, un equipo de investigadores ha puesto a prueba esta hipótesis con un enorme conjunto de datos: 250 000 valores de k. Aplicaron dos enfoques: un análisis estadístico a gran escala y experimentos con la red neuronal transformadora Axolver. El resultado recuerda a escuchar una señal de radio ruidosa: en el caos de números emergen ritmos claros. Casi siempre $r_k$ es la unidad dividida por un número entero. La magnitud de ese entero está gobernada por el conductor de la curva elíptica, una especie de "identificador" de su complejidad aritmética.
Con los primos 2 y 3 la historia es distinta. Aquí la divisibilidad no solo depende de la potencia, sino también de cómo se comporta la propia curva bajo reducción módulo p. Esto se asemeja a una frase musical donde el ritmo lo marcan no solo la duración de las notas, sino también la tonalidad en que toca la orquesta. La red neuronal Axolver, entrenada con estos datos, no pudo predecir $r_k$ con exactitud, pero adivinaba con seguridad su orden de magnitud y el carácter de su divisibilidad. Especialmente intrigantes son los resultados para p=2: la máquina encontró una estructura que aún no se deja describir explícitamente con fórmulas conocidas.
Así, los números de Boyd dejan de ser meras fracciones. Se convierten en una clave para las propiedades profundas de las curvas elípticas —aquellas que anudan álgebra, geometría y teoría de números en un solo nudo apretado.
tal como lo escribieron los autores, en inglés arXiv:2608.00615v1
Boyd conjectured that the Mahler measure of $$P_k(x,y)=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+k$$ for $$k$$ an integer, is given by $$r_kL'(E_k,0)$$, where $$E_k$$ is the elliptic curve associated to the zero locus of $$P_k$$ and $$r_k$$ is a rational number. We study various arithmetic properties of $$r_k$$ using a dataset containing the first $$250{,}000$$ values of $$k$$, combining large-scale statistical analysis assisted by Claude with transformer-based experiments carried out using Axolver. We recover Boyd's observation that, apart from a few exceptions, $$r_k$$ is the reciprocal of an integer. The size of this integer is governed by the conductor of the elliptic curve. Moreover, its $$p$$-adic valuations display markedly different behavior according to the prime. For $$p\geq 5$$, the probability of $$v_p(r_k)=-m$$ for $$m\geq 1$$ appears to be $$p^{-m}$$. For the primes $$2$$ and $$3$$, however, we find additional arithmetic structure involving congruence conditions on $$k$$ and the primes of bad reduction of $$E_k$$. Although the neural networks do not predict $$r_k$$ exactly, they recover significant information about its magnitude and valuations. In particular, the experiments at the prime $$2$$ suggest arithmetic structure beyond the explicit predictor obtained from our statistical analysis.
El número 250 000 no se eligió al azar: es aproximadamente la cantidad de estrellas visibles a simple vista en una noche despejada —y en cada "estrella" se esconde una curva elíptica.