A Banach space is a complete normed vector space that allows infinite-dimensional averaging operations.Se llama espacio de Banach a un espacio vectorial normado en el que toda sucesión de Cauchy (cuyos elementos se aproximan entre sí indefinidamente) converge a un límite que pertenece al mismo espacio. Es un concepto clave del análisis funcional. Ejemplos: espacios de funciones sumables L^p y de funciones continuas C[a,b]. En estos espacios se estudian operadores lineales y sus espectros, con aplicaciones en muchas áreas.
La idea del espacio de Banach fue desarrollada por Stefan Banach en su tesis doctoral (1920) y en publicaciones posteriores. Dio una construcción axiomática. Las ideas tempranas pertenecen a Fréchet, Riesz y Hilbert. La monografía clásica de Banach «Teoría de operaciones lineales» (1932) consolidó la materia. El desarrollo posterior está ligado a Schauder, Dunford, Schwartz, Grothendieck y otros.
Los espacios de Banach proporcionan un marco riguroso para investigar la convergencia de sucesiones y series de funciones, incluso en el caso de dimensión infinita. Los operadores lineales, especialmente los compactos e integrales, surgen naturalmente en problemas inversos de la física matemática. El principio de aplicación contractiva (método de aproximaciones sucesivas) se basa en la completitud y garantiza la unicidad de las soluciones de muchas ecuaciones no lineales. Los espacios de Hilbert son un caso particular donde la norma proviene de un producto escalar; sin embargo, aun sin producto escalar, los espacios de Banach poseen una geometría rica (convexidad estricta, suavidad uniforme). Los espacios duales, la reflexividad y las diferentes topologías (fuerte, débil, *-débil) sirven como herramientas para analizar la convergencia de operadores.
Solución de ecuaciones diferenciales, mecánica cuántica, problemas de optimización, procesamiento de señales.
El teorema de Hahn–Banach afirma que cualquier funcional lineal definido en un subespacio puede extenderse a todo el espacio sin aumentar su norma. Es como poder extender la medición de longitudes de un pequeño fragmento a toda la figura sin errores.
