La teoría de la probabilidad proporciona una forma de medir la incertidumbre. Describe fenómenos aleatorios, desde la vibración del polen en el agua (movimiento browniano) hasta los cúmulos de galaxias. En su base se encuentra el espacio de probabilidad: un conjunto de posibles resultados, a cada uno de los cuales se le asigna un número entre 0 y 1, y la suma de todos es 1. La probabilidad condicional (la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro) refina nuestras suposiciones; el teorema de Bayes invierte la condición y actualiza las probabilidades con nuevos datos. Es el motor de los filtros de spam, el diagnóstico médico y el aprendizaje automático.
Historia
El estudio formal de la probabilidad comenzó en el siglo XVII con la correspondencia entre Pascal y Fermat en 1654. La obra póstuma de Jacob Bernoulli «Ars Conjectandi» (1713) introdujo la ley de los grandes números. Thomas Bayes (1763) y Pierre-Simon Laplace formularon el principio de probabilidad inversa, el teorema de Bayes. En 1933, Andréi Kolmogórov, en «Conceptos fundamentales de la teoría de la probabilidad», la axiomatizó basándose en la teoría de la medida, uniendo las matemáticas puras con la experiencia.
Cómo funciona
La teoría de la probabilidad funciona mediante la especificación de un espacio de resultados elementales y una función de probabilidad. Las reglas — aditividad para eventos mutuamente excluyentes, multiplicación para independientes — permiten calcular las probabilidades de eventos complejos. La ley de los grandes números garantiza que, a medida que aumenta el número de ensayos, la media muestral tiende a la esperanza matemática. El teorema central del límite afirma que las sumas de variables aleatorias independientes son en el límite normales, lo que justifica la estadística frecuentista. La probabilidad condicional y el teorema de Bayes proporcionan un mecanismo para actualizar el conocimiento al recibir información. El aparato de la teoría de la medida formaliza las distribuciones mediante funciones de distribución, densidades o funciones características.
En la práctica
Las compañías de seguros determinan el costo de las pólizas, los meteorólogos informan el porcentaje de precipitaciones y los médicos evalúan los riesgos de los tratamientos, todo basado en cálculos probabilísticos.
Dato curioso
Si se baraja una baraja de 52 cartas, el orden resultante casi con certeza nunca antes se ha dado en la historia. El número de permutaciones es tan enorme (8×10⁶⁷) que incluso si cada habitante de la Tierra barajara una baraja cada segundo desde el Big Bang, ni siquiera nos acercaríamos a repetir una combinación.
Una gota de lluvia se desliza con el viento y golpea el océano no verticalmente, sino en ángulo. En ese momento, su energía se divide en dos canales: uno empuja el agua hacia adelante en la dirección del vuelo, y el otro la presiona hacia abajo, en profundidad.
El fondo óptico del cielo es un palimpsesto cósmico, donde la luz de miles de millones de galaxias no resueltas se superpone en capas correspondientes a diferentes épocas. Hasta ahora solo podíamos distinguir las 'letras' más brillantes: estrellas individuales y galaxias cercanas.
Un conductor en una carretera resbaladiza no sabe exactamente cómo reaccionará el coche al volante, y aprende sobre la marcha, dejando margen para el error. De manera similar se comporta un algoritmo de control inteligente.
Un copo de nieve crece, una mancha de petróleo se extiende, una multitud se mueve: las ecuaciones para cada caso son distintas. Pero el final suele ser el mismo: la forma, la velocidad, el patrón obedecen a un esquema simple que se repite a diferentes escalas. Esto es la universalidad: cuando tras los detalles se esconde una ley común.
El suelo no es una esponja compacta, sino un laberinto de poros de diferentes calibres. Tras la lluvia, el agua no los llena todos a la vez: primero los más estrechos, luego los más anchos. Los físicos han construido una teoría de este proceso basándose en una imagen simple: un conjunto de vasos comunicantes.
En matemáticas existe un tamiz que no cierne polvo, sino el infinito mismo. Se llama Q-espacio: aquí cualquier conjunto resulta ser un conjunto Gδ — intersección contable de abiertos, como tamizado a través de una red de malla increíblemente fina.
Estamos acostumbrados a pensar que notar solo las confirmaciones de nuestras suposiciones es un error. Pero cálculos recientes, inspirados en el comportamiento de las ondas, le dan la vuelta a esta visión. Resulta que el hábito de buscar lo familiar es la mejor manera de reducir el ruido informativo (los científicos lo llaman entropía).
La aurora boreal es como un teatro lejano: la función puede estar en marcha, pero si el espectador la ve o no depende del telón. El telón aquí son las nubes y la luz de la Luna. Antes, los pronósticos intentaban adivinar a la vez si había aurora y si las condiciones de observación eran buenas, mezclándolo todo en un mismo saco.
La nada cuántica se asemeja al agua en una olla justo antes de hervir. De vez en cuando, surge espontáneamente una burbuja, pero no de vapor, sino de un universo entero. Esta burbuja no colapsa, sino que se expande en el espacio-tiempo, desencadenando su propio Big Bang. La cuestión es con qué frecuencia ocurre esto.
Una goma elástica se estira y vuelve a su forma. Un resorte de acero se comprime y se expande. La elasticidad parece una propiedad de las cosas simples: un trozo de metal o una gota de gel. Pero los autores de este trabajo han mirado más allá.
Han demostrado que el espín del electrón —su diminuta rotación propia— también puede ser elástico.
Esparce un puñado de monedas sobre la mesa. Cada moneda es un resultado posible: cara, cruz o algo más. Si sabemos cuán caótico es este conjunto (su entropía), ¿qué combinaciones de probabilidades encontraremos con más frecuencia? Resulta que la respuesta depende de cuánto caos permitamos.
Una olla de agua en el fogón tarde o temprano se tranquiliza: la temperatura se iguala, el líquido deja de burbujear. Los físicos llaman a esto equilibrio térmico: un estado en el que la energía se reparte de la manera más probable.
En cualquier grupo hay tríos no escritos: tres amigos que siempre están juntos. Y hay parejas que existen por su cuenta. Resulta que de cuánto "contienen" los tríos a las parejas depende cómo se propaga por el grupo todo, desde un virus hasta una idea nueva.
Los científicos introdujeron una medida que llamaron coeficiente de anidamiento.
El agua hierve detrás de una piedra en el río, el aire se arremolina detrás del ala de un avión: parece que el movimiento es completamente caótico. Pero los autores del estudio encontraron en ese caos una receta de cocina estricta.
Descompusieron la rotación del fluido (el momento angular) en dos partes independientes.
En una gran ciudad, después de la lluvia, el agua se acumula en los mismos bajíos, sin importar dónde caigan las primeras gotas. Una hora después, el panorama de los charcos apenas depende del punto exacto donde comenzó el aguacero. Eso es el equilibrio: un resultado al que el sistema llega independientemente del punto de partida, si se olvidan los detalles.
Una gota de lluvia cae en un charco y, con el impacto, salta un surtidor de pequeñas salpicaduras. Cada una de ellas es una nueva gota secundaria. Cuántas son, de qué tamaño y cuánto tiempo viven depende de muchas cosas: la velocidad de caída, el tamaño de la gota, las propiedades del agua. Los científicos decidieron entender este caos mediante simulaciones por computadora.
Un meteorólogo acierta cada día si lloverá, pero cuando promete un «70% de precipitaciones», en realidad solo llueve en el 30% de los casos. Sus pronósticos son útiles, pero no se puede confiar en los números. Lo mismo ocurre con los modelos que predicen la supervivencia al cáncer a partir de imágenes de tejidos y datos genéticos.
Cuando un neutrón o un protón penetra en un núcleo atómico, se comporta como una pelota que golpea una pared irregular: puede rebotar de muchas maneras, dependiendo de dónde impacte.
Una gota de lluvia, al caer al suelo, golpea con cierta fuerza. Pero, ¿y si la gota no es redonda, sino alargada como un cigarro, o achatada como una tortita? Resulta que la forma de la gota lo decide todo: la fuerza del impacto puede variar más de diez veces solo por cómo se ve la gota en el momento de caer.
En un flujo turbulento — como en un río caudaloso — la energía se transfiere constantemente de los grandes remolinos a los pequeños. A veces surgen ráfagas especialmente potentes, similares a golpes repentinos de ola contra la orilla. Los científicos se preguntaron: ¿se puede saber de antemano cuándo golpeará tal «ola»? Resultó que la respuesta depende de qué vórtices viven en el flujo en ese momento.
Las erupciones solares —emisiones repentinas de energía en el Sol— pueden inutilizar satélites y redes eléctricas. Los modelos anteriores a menudo o bien daban falsas alarmas o bien pasaban por alto un impacto real. Solución: añadir a la predicción una evaluación de su fiabilidad.
El tiempo en la calle de al lado puede ser diferente al tuyo: junto al río hace más fresco, sobre el asfalto hace más calor, entre los edificios sopla más fuerte. El pronóstico habitual no ve esto: su celda tiene el tamaño de una ciudad, no de un patio.
Un panel solar en el tejado produce poca corriente por la mañana, mucha al mediodía y nada por la noche. El viento tampoco sopla de cualquier manera: a menudo es más fuerte por la mañana y por la tarde que durante el día.
En la pared cuelgan dos barómetros. Uno marca despejado; el otro, nubes variables. ¿A qué pronóstico creer? Algo así se preguntó un grupo de climatólogos cuando dos métodos independientes predijeron futuros distintos para el océano Pacífico en 2026.
Una epidemia no es un flujo uniforme, sino una serie de golpes. Un portador del virus puede no infectar a nadie, mientras que otro puede contagiar a cincuenta personas de inmediato. Estos eventos raros pero poderosos se denominan «reyes dragón»: se salen del patrón general y determinan cuán grave será la ola de enfermedad.
Una epidemia se parece a un incendio forestal: el fuego corre hacia donde hay más ramas secas. Del mismo modo, un virus se propaga más rápido donde la gente vive más apiñada. Pero los viejos modelos matemáticos describían el contagio como una mancha de tinta que se extiende uniformemente sobre el papel.
Según las leyes de la física, nada puede superar a la luz, de lo contrario, para algunos observadores, el efecto ocurriría antes que la causa. Artur Ekert y Andrzej Dragan demostraron que esta situación genera una incertidumbre similar a la cuántica.
La lluvia no cae de cualquier manera. Si tomamos los registros de casi cincuenta mil pluviómetros repartidos por todo el globo y comparamos cuánta agua cae en un día lluvioso en distintos rincones del planeta, descubrimos una pauta sorprendente.
Cada temporada de huracanes en el Atlántico se parece a un juego de dados en el que el número de puntos obtenidos depende de tres grandes fuerzas climáticas: El Niño, la temperatura del océano en la 'cuna de los huracanes' y la oscilación del Atlántico Norte.
En 1946, Felix Bloch predijo que, incluso sin campo magnético externo, en un conjunto de espines existe un momento magnético fluctuante. Crece como la raíz cuadrada del número de partículas, y en muestras pequeñas este ruido puede superar la polarización térmica.
