The axiom of choice is a mathematical principle asserting that from any collection of non-empty sets, one can select an element from each set.El axioma de elección es uno de los enunciados de la teoría de conjuntos que postula la existencia de una función de elección sobre cualquier familia de conjuntos no vacíos. Es decir, para cualquier colección (posiblemente infinita) de conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada conjunto de esa colección. Para un número finito de conjuntos parece trivial, pero para infinitos da un resultado no constructivo: sabemos que la elección es posible, pero no podemos describirla. Es equivalente al principio de buena ordenación de Zermelo y al lema de Zorn.
Fue formulada explícitamente por primera vez por Ernst Zermelo en 1904 para demostrar que cualquier conjunto puede ser completamente ordenado. Esta afirmación fue inmediatamente cuestionada por Émile Borel, Henri Lebesgue y otros analistas destacados. En 1938, Kurt Gödel demostró que AC no contradice ZF, y en 1963, Paul Cohen probó que la negación de AC también es compatible con ZF. Por lo tanto, el axioma de elección es independiente. Hoy en día, la gran mayoría de los matemáticos usan AC, aunque existen enfoques alternativos (constructivismo, categoría de topos) donde se evita.
Funcionalmente, AC permite realizar construcciones no constructivas. En las demostraciones de teoremas se suele decir: «Para cada i, elijamos un elemento x_i del conjunto A_i» sin especificar una regla de elección. Esto es correcto si se acepta el axioma de elección. Sin él, tales razonamientos no son admisibles. Un ejemplo típico: la demostración de la existencia de una base de Hamel en un espacio vectorial arbitrario — elegimos secuencialmente vectores linealmente independientes, y en los pasos infinitos se requiere AC. Técnicamente, el axioma no indica cómo encontrar la elección, simplemente postula su existencia.
Base de muchos teoremas en matemáticas: sin él no se puede demostrar que todo espacio vectorial tiene base, o que el producto de Tíjonov de espacios compactos es compacto. Se utiliza en análisis, topología, lógica.
Con el axioma de elección se puede matemáticamente «duplicar» una esfera: cortarla en un número finito de partes, moverlas y obtener dos esferas del mismo radio. Esta paradoja de Banach–Tarski muestra cuán poderoso y contraintuitivo es el axioma.
