Euler's formula is a mathematical equation that establishes the deep relationship between trigonometric functions and the complex exponential function.La exponencial compleja es una máquina del tiempo para las ondas. e^(iθ) = cosθ + i sinθ significa que multiplicar por e^(iθ) rota un número un ángulo θ, uniendo rotación y crecimiento.
Leonhard Euler en la década de 1740 experimentó con series y descubrió que al sustituir ix en la serie de e^x resultan dos series familiares. En 1748 publicó este resultado en su «Introductio in analysin infinitorum». Antes de él, Roger Cotes había deducido relaciones similares, pero fue Euler quien comprendió todo el poder de la exponencial compleja. Más tarde, la fórmula se convirtió en la clave para la creación del análisis complejo.
La fórmula de Euler se utiliza para representar oscilaciones en física e ingeniería: desde la descripción de ondas electromagnéticas hasta los algoritmos de la transformada rápida de Fourier. Sus límites de aplicabilidad surgen al pasar a álgebras no conmutativas, como los cuaterniones, donde la exponencial no se descompone simplemente en funciones trigonométricas.
La ecuación más bella de las matemáticas: e^(iπ) + 1 = 0 reúne los cinco números principales — e, i, π, 1, 0 — en una sola igualdad.
| f | variable | homogeneous function of degree n — homogeneous function |
| x | variable | independent variable — variable |
| n | variable | degree of homogeneity — degree |
| f'(x) | operador | derivative of f with respect to x — derivada |
| α | variable | Scaling exponent (same as in power law) |
| K | variable | Luttinger parameter — luttinger parameter |