fórmula

El geómetra pasa el dedo por una superficie invisible y, según cómo se curvan las geodésicas, toma su huella. Esa huella puede ser la curvatura normal máxima κ(F): la mayor de las curvaturas de todas las geodésicas que pasan por un punto de la variedad sumergida.

Una linterna no ilumina un círculo uniforme, sino un punto brillante en el centro y un halo difuso en los bordes. Si se apaga rápidamente, los bordes son los últimos en extinguirse — y por cómo se desvanece la luz, se puede deducir la forma del reflector.

Una burbuja de aire se desprende de una aguja fina en el fondo de un vaso y asciende. En agua limpia se comporta como un muelle: se aplana y se estira alternativamente, intercambiando energía entre el movimiento y la forma. Basta añadir una gota de jabón al agua para que la burbuja se calme de inmediato, se vuelva casi perfectamente esférica y suba recta, sin temblores.

En una olla con agua hirviendo, las burbujas de vapor suben y estallan. En el mundo cuántico de un líquido superfluido, las burbujas se comportan de otra manera: pueden colisionar y engendrar vórtices, diminutas corrientes arremolinadas parecidas a remolinos en un río. Los científicos modelaron ese líquido con un enfoque holográfico.

Un barco que se desliza sobre el agua roza constantemente contra ella, como la palma de la mano contra una superficie rugosa. Esa fricción consume combustible y frena la marcha. Una forma de reducirla es inyectar aire bajo el casco: el agua deja de adherirse al casco y la resistencia disminuye. Pero el aire se comporta de manera caprichosa: a veces ayuda y a veces estorba.

En el corazón del cúmulo de galaxias de Ofiuco flota una burbuja de plasma caliente del tamaño de varias galaxias. Asciende como un globo aerostático gigante en la atmósfera, y detrás deja una estela: una región donde el gas se pone en movimiento.

Una gota cae en un vaso y de la superficie se desprende un pequeño chorrito: una fuente diminuta que por un instante se eleva. Algo parecido ocurre con una burbuja pegada a la pared de un tubo si se tira bruscamente del tubo hacia abajo. El agua alrededor de la burbuja se precipita hacia adentro y desde la parte superior sale disparado un chorro.

En un vaso de agua, los ultrasonidos crean burbujas diminutas. Estas crecen y se encogen, y a veces colapsan bruscamente, como una burbuja de jabón que estalla, pero miles de veces más rápido. Junto a estas burbujas flotan pequeñas partículas, por ejemplo, esferas de níquel del tamaño de una mota de polvo.

El ultrasonido en un líquido es como agitar rápidamente una botella de refresco: al agitarla, aparecen burbujas. Solo que en ciencia esto se llama cavitación, y las burbujas no simplemente flotan, sino que nacen, crecen y estallan con una fuerza enorme.