The Euler-Lagrange equation is the differential equation whose solutions extremize a given functional in calculus of variations.A mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange, de forma independiente, derivaron una ecuación que se convirtió en el corazón de la mecánica analítica. Demostraron que toda la mecánica newtoniana puede reescribirse en el lenguaje de las energías. La idea clave: la trayectoria de un sistema es la solución para la cual la integral (el valor acumulado) del lagrangiano en el tiempo es extremal (generalmente mínima). Esto se conoce como el principio de mínima acción. Una analogía: la naturaleza elige el camino más económico, del mismo modo que el agua fluye por un cauce sinuoso minimizando las pérdidas de energía.
Leonhard Euler, en 1744, estudiando el problema de la braquistócrona (la curva de descenso más rápido), llegó a una ecuación que minimiza la integral de un funcional. Casi medio siglo después, Joseph-Louis Lagrange, en su "Mecánica Analítica" (1788), utilizó el cálculo de variaciones para replantear toda la mecánica clásica, formulando las ecuaciones de movimiento mediante el lagrangiano. Esto permitió prescindir de fuerzas y aceleraciones, sustituyéndolas por energía y coordenadas generalizadas. Posteriormente, William Rowan Hamilton desarrolló esta idea en el principio de mínima acción, y Carl Gustav Jacobi la relacionó con la óptica.
La ecuación se emplea para deducir las ecuaciones de movimiento en sistemas complejos: mecanismos multicuerpo, campos, partículas relativistas. Sus límites de aplicabilidad: es válida para sistemas donde las fuerzas se derivan de un potencial (fuerzas conservativas con un potencial generalizado) y donde no hay ligaduras no holónomas. Queda fuera de su alcance cuando hay disipación (fricción) o cuando se consideran efectos cuánticos, en cuyo caso se utiliza una modificación en forma de integrales de camino de Feynman.
Se aplica en robótica para el cálculo de los movimientos de manipuladores y en animación para la simulación realista de tejidos y cabellos.
La ecuación de Euler-Lagrange funciona no solo en mecánica, sino también en electrodinámica, teoría de campos e incluso en economía, en todo lugar donde exista la noción de camino óptimo.
| f | variable | homogeneous function of degree n — homogeneous function |
| x | variable | independent variable — variable |
| n | variable | degree of homogeneity — degree |
| f'(x) | operador | derivative of f with respect to x — derivada |
