Методы Монте-Карло — это вычислительные алгоритмы, использующие случайную выборку для приближённого получения численных результатов.Методы Монте-Карло — класс вычислительных алгоритмов, основанных на многократной случайной выборке. Они позволяют численно оценивать интегралы высокой размерности, решать дифференциальные уравнения и оптимизационные задачи. Ключевая идея: вместо аналитического расчёта прибегают к статистическому эксперименту. Сходимость медленная (ошибка убывает как 1/√N), но не зависит от размерности, что делает методы незаменимыми в многомерном пространстве. В финансах, например, они оценивают стоимость сложных производных инструментов, в биологии моделируют эволюцию популяций, а в компьютерной графике создают реалистичное освещение сцен (трассировка лучей).
Идея восходит к эксперименту Бюффона с бросанием иглы в XVIII веке, но как вычислительный инструмент сформировалась в 1940-х годах. Станислав Улам, восстанавливаясь после болезни, размышлял о пасьянсах и понял, что вместо сложных комбинаторных подсчётов можно просто много раз разыграть случайную игру и оценить вероятность выигрыша. Он обсудил это с Джоном фон Нейманом, и они применили подход к расчётам нейтронной диффузии. В 1953 году появилась основополагающая статья Н. Метрополиса и соавторов об алгоритме выборки.
Для оценки интеграла I = ∫ f(x) dx, вводят плотность распределения p(x) и генерируют N точек xi ~ p(x). Приближение: I ≈ (1/N) Σ f(xi)/p(xi). В MCMC строится цепь Маркова с ядром перехода, обеспечивающим эргодичность и стационарность на целевом распределении. Для сложных распределений применяют ансамблевый сэмплинг и гамильтонов Монте-Карло, использующий градиенты логарифма плотности.
Инженеры с их помощью проверяют надёжность мостов, финансисты прогнозируют цены акций, а физики моделируют ядерные реакции.
Самый известный пример — вычисление числа π: бросая точки в квадрат со вписанным кругом и подсчитывая отношение попавших внутрь круга к общему числу, получают приближение 4×(попавшие/всего).
