La ciudad está dibujada en una hoja de papel. Las calles son las mismas, los cruces están en su lugar, pero las distancias entre las manzanas han cambiado de repente. Así se ve el agujero negro tridimensional BTZ en la gravedad modificada: la métrica, que es el mapa de la ciudad, sigue siendo la misma, pero la constante cosmológica, que fija la escala, ha recibido correcciones.

El agujero BTZ es una solución de las ecuaciones de Einstein en un espacio-tiempo de dimensión 2+1 con constante cosmológica negativa. No tiene singularidad de curvatura en el centro y por eso sirve como un modelo de juguete ideal para probar teorías de la gravedad. Los autores tomaron la métrica del agujero BTZ rotante y la sustituyeron en las ecuaciones de campo de dos teorías: la gravedad con tensor de Ricci inverso (una clase general de f(R, A, AμνAμν)) y la gravedad f(R). Para la primera, tuvieron que calcular el tensor de Ricci inverso, que es un antitensor de curvatura, su traza y el invariante cuadrático. El resultado es que ambas teorías admiten la solución BTZ, pero la constante cosmológica efectiva cambia.

La fórmula para la constante cosmológica efectiva en la gravedad con tensor de Ricci inverso es:

\[\Lambda_m = \Lambda - 6\alpha_1 \Lambda^2 - 108\alpha_2 \Lambda^3 + \frac{5\beta_1}{4\Lambda} + \frac{15\beta_2}{8\Lambda^2} + \frac{7\gamma}{8\Lambda^2}.\]

Aquí Λ es la constante cosmológica original, y α₁, α₂, β₁, β₂, γ son las constantes de acoplamiento. En el límite de constantes nulas, la fórmula se reduce a Λ, como debe ser. En la gravedad f(R), las correcciones solo incluyen los términos con α₁ y α₂.

Luego, los autores integraron las ecuaciones geodésicas, que describen las trayectorias de partículas en caída libre, para tres casos: masa y momento angular no nulos, masa y momento nulos, y el caso M = −1, J = 0 (tipo AdS₃). Las soluciones se expresan mediante funciones hiperbólicas, exponenciales y trigonométricas. El potencial efectivo, que determina la barrera para el movimiento de las partículas, cambia notablemente: con constantes de acoplamiento no nulas, la barrera puede desaparecer o desplazarse, lo que altera las condiciones de captura de partículas.

Este trabajo verifica por primera vez la supervivencia de un agujero negro tridimensional en la teoría con tensor de Ricci inverso. Antes se desconocía si el espacio BTZ seguía siendo una solución en esa gravedad y cómo cambiaban las geodésicas. Ahora se muestra que la métrica es una solución de vacío en ambas teorías, pero con una constante cosmológica modificada; se obtienen fórmulas explícitas para las trayectorias de las partículas. El método es simple: se sustituyó la métrica conocida en las nuevas ecuaciones de campo, se calculó el tensor de Ricci inverso y se integraron las ecuaciones de movimiento.

Para la gravedad cuántica en 2+1 dimensiones, esto es importante: el agujero BTZ es un modelo clave para la holografía, y su supervivencia en teorías modificadas abre el camino para probar la correspondencia AdS/CFT más allá de la relatividad general. Los resultados se pueden usar para verificar teorías de gravedad modificada en modelos tridimensionales y para construir duales holográficos.

El mapa de la ciudad sigue siendo el mismo, pero las distancias han cambiado. Ahora falta entender cómo afecta esto a la termodinámica del agujero negro, su estabilidad y sus propiedades cuánticas.