Dos ciudades con la misma densidad media de población. En una, una cuadrícula ordenada de manzanas; en la otra, un laberinto de callejones estrechos y plazas inesperadas. En el mapa global parecen gemelas, pero la vida dentro de ellas fluye de manera muy distinta. Algo parecido ocurre con dos configuraciones centrales (puntos críticos de la variedad en el espacio de formas) de 5000 partículas de igual masa, estudiadas en un nuevo trabajo. Su medida global de agrupamiento — la variedad — difiere solo en un 1,686%: 0,5857 y 0,5956. Esta cantidad, introducida en el enfoque de Barbour, Koslowski y Mercati, sirve como indicador de la flecha gravitacional del tiempo en el problema newtoniano de N cuerpos con energía, momento y momento angular nulos. Crece en ambas direcciones desde el punto de Jano — el momento de tamaño mínimo del sistema. Pero la completitud de tal descripción seguía siendo cuestionable.

Para mirar dentro de las "ciudades", los autores introdujeron una medida invariante de escala: la anisotropía de los seis vecinos más cercanos, A6. Para cada partícula se construyó el tensor de segundos momentos de los desplazamientos de los vecinos, y A6 se definió como la relación entre la diferencia y la suma de sus valores propios: 0 para un entorno isotrópico (como puntos en una cuadrícula uniforme), 1 para uno colineal (como cuentas en un hilo). La A6 media para la configuración con menor variedad fue 0,1331 — un fondo casi isotrópico. Para la configuración con mayor variedad, 0,3419, una diferencia del 156,8%. Las medianas diferían aún más: 0,1133 frente a 0,3226.

En la primera configuración, ninguna partícula tenía A6 superior a 0,5 — todo como en una ciudad con transiciones suaves. En la segunda, el 18,1% de ellas superaba ese umbral: barrios enteros de estructuras alargadas. Las distribuciones de probabilidad de A6 tienen una distancia de Kolmogórov-Smirnov de 0,557, lo que confirma su fuerte diferencia. Los valores altos de A6 se concentran a lo largo de filamentos y arcos curvados — como callejones estrechos que atraviesan la segunda ciudad. La diferencia de signo se mantuvo para todos los tamaños de vecindario probados (k de 4 a 12), aunque la magnitud varió entre 8,8% y 161,8%. La prueba de robustez frente a pares muy cercanos (reemplazando componentes conexas por centroides) redujo la A6 media a 0,3169, pero la diferencia con la primera configuración se mantuvo en 138,1%.

El resultado muestra que la cantidad escalar global variedad no determina unívocamente la organización geométrica local del sistema. Dos "ciudades" con densidad media casi idéntica pueden estar estructuradas de manera fundamentalmente distinta: una es un esparcimiento uniforme, la otra un laberinto de filamentos. Esto no resta valor a la variedad como indicador de la flecha, pero señala la necesidad de observables relacionales adicionales, locales, para una descripción más completa de la evolución estructural. La flecha gravitacional puede ser un fenómeno multidimensional, donde la agrupación global es solo el primer nivel de una jerarquía de descriptores.

Así volvemos a la imagen de las dos ciudades. En el mapa son casi indistinguibles, pero por dentro una es un tranquilo suburbio y la otra un enredo de vías tensas. Para entender su destino, no basta con conocer la densidad media: hay que ver la geometría de sus calles.