unidad imaginaria — de la anatomía de las fórmulasLa unidad imaginaria, denotada como i, se define por la propiedad i² = −1. Extiende el sistema de los números reales a los números complejos, permitiendo que toda ecuación polinómica tenga soluciones. En física, la unidad imaginaria no es solo una conveniencia matemática, sino un ingrediente fundamental en las ecuaciones de la mecánica cuántica, donde las funciones de onda toman valores complejos, y en la descripción de oscilaciones y ondas en todas las ramas de la física.
La unidad imaginaria fue introducida por primera vez por Gerolamo Cardano en el siglo XVI para resolver ecuaciones cúbicas, y posteriormente formalizada por Rafael Bombelli. Su interpretación geométrica como rotación provino de Caspar Wessel y Jean-Robert Argand a finales del siglo XVIII.
Los números complejos se escriben como a + bi, donde a y b son números reales. La unidad imaginaria permite una representación compacta de rotaciones y fenómenos periódicos: la fórmula de Euler e^{iθ} = cos θ + i sin θ vincula las exponenciales con la trigonometría. En mecánica cuántica, la evolución temporal de un estado se rige por la ecuación de Schrödinger iħ ∂ψ/∂t = Hψ, donde el factor i asegura que las probabilidades se conserven y que la evolución sea unitaria.
La unidad imaginaria se utiliza en el análisis de circuitos de corriente alterna, en el procesamiento de señales (transformadas de Fourier) y en la computación cuántica, donde los estados de los qubits se representan como vectores complejos.
La unidad imaginaria es el único número cuyo recíproco es igual a su negativo: 1/i = −i, una propiedad que se deduce directamente de i² = −1.
| ρ | variable | density matrix of the open quantum system — matriz de densidad |
| t | variable | time — tiempo second |
| H | variable | Hamiltonian of the system — hamiltoniano joule |
| L_n | variable | Lindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator |
| i | constante | imaginary unit, square root of -1 — unidad imaginaria = 1 |
| ħ | constante | Planck constant divided by 2π — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| d/dt | operador | derivative with respect to time — derivada temporal |
| [H, ρ] | operador | commutator of H and ρ — conmutador |
| {L_n† L_n, ρ} | operador | anticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator |
| ∑_n | operador | sum over all dissipation channels — sum over channels |
| Ψ | variable | Spinor wave function — función de onda |
| t | variable | Time — tiempo second |
| i | constante | Square root of -1 — unidad imaginaria = 1 |
| ħ | constante | Fundamental quantum of action — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second |
| c | constante | Universal speed limit — velocidad de la luz = 299792458 metre per second |
| m | constante | Intrinsic mass of the particle — masa = variable kilogram |
| ∂_t | operador | Differentiates the wave function with respect to time — derivada parcial |
| ∇ | operador | Spatial derivative vector — nabla operator |
| A | variable | Polarization vector — polarization vector |
| Δ | variable | Amplitude of the field — amplitud volt per metre |
| e_x | variable | Unit vector along x-axis — vector unitario |
| e_y | variable | Unit vector along y-axis — vector unitario |
| i | operador | Complex number with square -1 — unidad imaginaria |
| z | variable | Analytic signal — analytic signal |
| x | variable | Real signal — señal |
| a | variable | Instantaneous amplitude — instantaneous amplitude |
| φ | variable | Instantaneous phase — instantaneous phase radian |
| t | variable | Time variable — tiempo second |
| H | operador | Hilbert transform, shifts phase by -90° — hilbert transform operator |
| i | operador | Imaginary unit, √(-1) — unidad imaginaria |
