Le temps inversé : ce que perd l'équation de Schrödinger ✛

Deux traducteurs écoutent la même symphonie. L'un n'entend que la note fondamentale, une mélodie pure et prévisible. L'autre perçoit les harmoniques qui modifient la couleur de chaque note. En mécanique quantique, deux équations jouent ce rôle de traducteurs : la symétrie d'inversion du temps est une propriété de la partition, tandis que l'équation de Schrödinger-Pauli et l'équation de Dirac sont deux manières de la lire.

Dans les matériaux magnétiquement ordonnés, où les spins des électrons s'alignent selon un motif collectif, cette symétrie est brisée. On a longtemps pensé que, sans interaction spin-orbite (ce lien entre le spin et le mouvement de l'électron), la description non relativiste ne remarquait pas la brisure. Elle reste « sourde » aux harmoniques, comme un traducteur qui n'entend pas les harmoniques supérieures. Mais les auteurs de l'étude ont montré que l'équation de Dirac, même dans la limite des faibles vitesses, conserve une trace de la brisure. Dans cette équation, chaque bloc de spin reste complexe, ce qui est la signature mathématique de l'absence de symétrie d'inversion du temps.

L'outil clé s'est avéré être la courbure de Berry, une phase géométrique qui influence le mouvement des électrons. Pour un électron non relativiste, elle vaut ±1/(2m²c²), c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de l'interaction spin-orbite. C'est une propriété intrinsèque, comme le moment magnétique de spin eℏ/(2m). Dans un ferromagnétique avec un déséquilibre entre spins up et down, cette courbure génère une contribution à la conductivité de Hall anormale, une tension transverse sans champ magnétique externe. Numériquement, la contribution est faible, de l'ordre de 10⁻³ (Ω·cm)⁻¹, mais elle existe, et cela change la classification des effets magnétiques. L'équation de Schrödinger-Pauli, dans la même limite, donne des hamiltoniens réels qui préservent la symétrie d'inversion du temps. Là, la courbure de Berry n'apparaît que si l'on ajoute une interaction spin-orbite dépendant du potentiel.

Auparavant, la frontière entre les phénomènes magnétiques « non relativistes » et ceux « nécessitant l'interaction spin-orbite » était tracée selon ce critère. On voit maintenant qu'elle ne passe pas là. La brisure de la symétrie d'inversion du temps peut être une conséquence directe de la structure relativiste de l'électron, et non d'une interaction supplémentaire. Pour les théories de l'altermagnétisme et des groupes de spin, où la séparation des symétries joue un rôle clé, c'est une précision importante. En perspective, on peut envisager une vérification sur des structures de bandes réalistes de ferromagnétiques avec une faible interaction spin-orbite, par exemple dans les éléments légers. Et la question de l'effet magnétoélectrique reste ouverte : sa théorie microscopique ne nécessite peut-être pas non plus d'interaction spin-orbite.

Les deux traducteurs reviennent à la partition. L'un n'entend toujours que la note fondamentale, et sa traduction est prévisible mais incomplète. L'autre entend les harmoniques, et ce sont elles qui révèlent que, dans cette musique, le temps ne s'écoule que dans un seul sens. L'équation de Dirac s'est avérée être ce traducteur qui ne perd pas ce détail.