Аксиома выбора — это математический принцип, утверждающий, что из любого набора непустых множеств можно выбрать по элементу из каждого множества.Аксиома выбора — одно из утверждений теории множеств, постулирующее существование функции выбора на любом семействе непустых множеств. То есть для любого набора (возможно, бесконечного) попарно непересекающихся непустых множеств существует множество, содержащее ровно по одному элементу из каждого множества этого набора. Для конечного числа множеств она выглядит тривиальной, но для бесконечных даёт неконструктивный результат: мы знаем, что выбор возможен, но не можем его описать. Она эквивалентна принципу вполне упорядочения Цермело и лемме Цорна.
Впервые явно сформулирована Эрнстом Цермело в 1904 году для доказательства того, что любое множество может быть полностью упорядочено. Это утверждение немедленно оспорили Эмиль Борель, Анри Лебег и другие ведущие аналитики. В 1938 году Курт Гёдель показал, что AC не противоречит ZF, а в 1963 году Пол Коэн доказал, что и отрицание AC совместимо с ZF. Таким образом, аксиома выбора независима. Сегодня подавляющее большинство математиков используют AC, хотя существуют альтернативные подходы (конструктивизм, категория топосов), где её избегают.
Функционально AC позволяет совершать неконструктивные построения. При доказательстве теорем часто говорят: «Для каждого i выберем элемент x_i из множества A_i» без указания правила выбора. Это корректно, если принята аксиома выбора. Без неё подобные рассуждения недопустимы. Типичный пример: доказательство существования базиса Гамеля в произвольном векторном пространстве — мы последовательно выбираем линейно независимые векторы, и на бесконечных шагах требуется AC. Технически, аксиома не указывает, как искать выбор, она просто постулирует его существование.
Основа многих теорем в математике: без неё нельзя доказать, что любое векторное пространство имеет базис, или что тихоновское произведение компактных пространств компактно. Используется в анализе, топологии, логике.
С помощью аксиомы выбора можно математически «удвоить» шар: разрезать его на конечное число частей, передвинуть их и получить два шара того же радиуса. Этот парадокс Банаха–Тарского показывает, насколько мощна и контринтуитивна аксиома.
