Une fonctionnelle mathématique qui décrit la dynamique d'un système physique.En physique, l'action est une quantité scalaire qui résume toute la dynamique d'un système. Elle est définie comme l'intégrale sur le temps du lagrangien, qui est la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Le principe de moindre action stipule que le chemin réellement suivi par un système entre deux points est celui pour lequel l'action est stationnaire (généralement un minimum). Ce principe unifie élégamment la mécanique classique, l'électromagnétisme et même la relativité générale, fournissant un cadre puissant pour dériver les équations du mouvement.
Le concept a été introduit par Pierre Louis Maupertuis dans les années 1740, avec des raffinements ultérieurs par Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange. La formulation moderne utilisant le lagrangien a été développée par Lagrange dans les années 1780, et le principe de moindre action a été pleinement articulé par William Rowan Hamilton dans les années 1830.
Pour un système donné, on écrit le lagrangien, puis on l'intègre sur le temps pour obtenir la fonctionnelle d'action. En appliquant le calcul des variations, on exige que de petites variations du chemin laissent l'action inchangée au premier ordre. Cela mène aux équations d'Euler-Lagrange, qui sont les équations du mouvement. L'approche par l'action est particulièrement utile car elle est indépendante du choix des coordonnées et peut être étendue à la mécanique quantique via les intégrales de chemin.
Les principes d'action sont utilisés en physique théorique pour dériver les équations de champ, en physique computationnelle pour les méthodes variationnelles, et dans le développement de la théorie quantique des champs où la formulation par intégrales de chemin repose sur l'action.
L'action a pour unités l'énergie multipliée par le temps, ce qui est la même chose que la constante de Planck, ce qui en fait un pont naturel entre la physique classique et la physique quantique.
| ψ | variable | Quantum wave function — fonction d'onde metre to the minus 3 over 2 |
| R | variable | Real amplitude of the wave function — probability amplitude metre to the minus 3 over 2 |
| S | variable | Phase of the wave function (action) — action joule second |
| ℏ | constante | Fundamental constant setting the scale of quantum phenomena — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| e^{iS/ℏ} | opérateur | Complex phase factor encoding the oscillatory behaviour — complex exponential |
| S | variable | Action — action joule second |
| g | variable | Determinant of the metric tensor — metric determinant |
| R | variable | Ricci scalar curvature — ricci scalar reciprocal metre squared |
| d^4x | variable | Four-dimensional spacetime volume element — spacetime volume element metre to the fourth |
| G | constante | Newton's constant of universal gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared |
| \int | opérateur | Integration over spacetime — opérateur intégral |
| S_E | variable | Euclidean action — action joule second |
| L_E | variable | Euclidean Lagrangian — Lagrangien joule |
| τ | variable | Euclidean time — temps second |
| ∫ | opérateur | Integration over Euclidean time — opérateur intégral |
| dτ | opérateur | Infinitesimal time element — differential element |
| Ψ | variable | quantum amplitude (transition amplitude or wavefunction) — probability amplitude varies |
| φ | variable | field configuration (path variable) — champ varies |
| S[φ] | variable | action functional of the field configuration — action joule second |
| ℏ | constante | Sets the scale of quantum fluctuations — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| ∫ 𝒟φ | opérateur | sums over all possible histories of the field — functional integral |
| \Gamma | variable | Tunneling rate (probability per unit time) — rate per second |
| S | variable | Euclidean action of the bounce solution — action joule second |
| \propto | opérateur | Indicates proportionality — proportional to |
| e^{-S} | opérateur | Exponential function with exponent -S — exponential |
| S | variable | Action of the theory — action joule second |
| g | variable | Determinant of the spacetime metric tensor — metric determinant |
| φ | variable | Scalar field non-minimally coupled to gravity — champ scalaire |
| R | variable | Ricci scalar curvature — ricci scalar per metre squared |
| ∂φ | variable | Gradient of the scalar field — field gradient per metre |
| ∫ d⁴x | opérateur | Integration over four-dimensional spacetime — four dimensional integral |
| √(-g) | opérateur | Volume element factor for curved spacetime — sqrt negative metric determinant |
| (∂φ)² | opérateur | Kinetic term of the scalar field, contraction of its gradient with itself — kinetic term |
