A modular form is a complex analytic function that transforms in a specific way under the action of a discrete group.Une forme modulaire est une fonction holomorphe sur le demi-plan complexe supérieur, satisfaisant l'équation fonctionnelle f((az+b)/(cz+d)) = (cz+d)^k f(z) pour toutes les matrices du groupe modulaire SL(2,ℤ) et possédant certaines conditions de croissance. Le poids k est un entier. Les formes modulaires forment des espaces vectoriels de dimension finie et leurs séries de Fourier contiennent une information arithmétique profonde.
Les origines de la théorie des formes modulaires remontent aux travaux de Gauss et Eisenstein, mais l'étude systématique a débuté à la fin du XIXe siècle avec Poincaré, qui a introduit la notion générale de formes automorphes. Felix Klein a étudié les fonctions modulaires en lien avec l'icosaèdre. Au XXe siècle, Hecke a développé la théorie des opérateurs, Ramanujan a découvert les propriétés profondes de la fonction τ, et plus tard la conjecture de Taniyama–Shimura sur la modularité des courbes elliptiques a conduit à la preuve par Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat. Les développements modernes incluent le programme de Langlands et la modularité de toutes les courbes elliptiques sur ℚ.
Une forme modulaire est une section d'un certain fibré en droites sur la courbe modulaire. L'équation fonctionnelle garantit que la fonction se transforme correctement sous l'action du groupe modulaire, et l'holomorphie ainsi que la condition de croissance assurent la régularité et la finitude aux pointes. Les séries de Fourier permettent d'exprimer la forme via les coefficients a_n, qui ont souvent un sens arithmétique (par exemple, le nombre de points sur une courbe elliptique sur un corps fini). Le lien avec les courbes elliptiques se fait par la modularité : à chaque courbe elliptique correspond une forme modulaire dont la série L coïncide. Ceci est utilisé dans la preuve du théorème de Fermat. Les formes modulaires engendrent aussi des représentations du groupe GL(2) sur les adèles.
Preuve du dernier théorème de Fermat, codes correcteurs d'erreurs, base pour la théorie des cordes et les invariants quantiques.
La fonction zêta de Riemann, fonction mystérieuse concernant la distribution des nombres premiers, est étroitement liée aux formes modulaires via une forme modulaire appelée fonction thêta.
| x | variable | Sequence in normed space — sequence |
| \lambda | variable | Scaling parameter — scaling parameter |
| n | variable | Index of sequence element — index |
| \inf | opérateur | Takes the greatest lower bound of a set — infimum |
| \sum_{n=1}^\infty | opérateur | Adds terms of a sequence — series summation |
| f | variable | scalar function value — valeur de fonction |
| x | variable | input vector — vector argument |
| Q | variable | quadratic coefficient matrix — quadratic coefficient matrix |
| b | variable | linear coefficient vector — linear coefficient vector |
| c | variable | constant term — constant term |
| T | opérateur | flips a matrix or vector over its diagonal — transpose operator |
| s | variable | Complex argument of the L-function |
| n | variable | Summation index (positive integer) |
| χ | variable | Dirichlet character modulo some integer |
| ∑ | opérateur | Sum over positive integers — somme |
| Y | variable | observed response — response variable |
| X | variable | input features — feature vector |
| f | variable | true underlying function — function |
| ε | variable | noise term — noise |
| D | variable | monotonic transformation function — monotonic function |
