A Fourier series is a mathematical expansion of periodic functions into a sum of sine and cosine waves.La série de Fourier est la représentation d'une fonction périodique f(x) de période T sous forme de somme de fonctions trigonométriques : f(x) = a0/2 + Σ[a_n cos(2π n x/T) + b_n sin(2π n x/T)]. Les coefficients a_n et b_n sont calculés comme les projections de la fonction sur les ondes cosinusoïdales et sinusoïdales correspondantes et indiquent dans quelle mesure chaque harmonique est présente dans le signal d'origine. La décomposition est possible grâce à l'orthogonalité des sinus et cosinus. Les séries de Fourier sont un outil puissant pour résoudre des équations différentielles (par exemple, l'équation de la chaleur) et constituent la base de l'analyse spectrale.
Les origines de l'idée remontent à Daniel Bernoulli (1753), qui représentait le mouvement d'une corde par une somme d'harmoniques. Jean-Baptiste Joseph Fourier, en 1807, dans un mémoire sur la conduction de la chaleur, a systématiquement utilisé les séries trigonométriques et a proposé une méthode de calcul des coefficients. Son ouvrage « Théorie analytique de la chaleur » (1822) a établi cet outil, malgré les critiques de ses contemporains pour son manque de rigueur. La théorie rigoureuse de la convergence a été construite par Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1829, puis développée par Riemann, Lebesgue et d'autres.
Lors de la décomposition de f(x), les harmoniques de numéro n forment un spectre. Les n petits correspondent à des variations lentes, les n grands à des détails rapides. Les intégrales pour les coefficients a_n et b_n sont le produit scalaire de la fonction avec le cosinus/sinus ; grâce à l'orthogonalité de la base ∫ cos(nx) cos(mx) = 0 pour n≠m, chaque harmonique « extrait » uniquement sa part du signal. La somme de toutes les harmoniques redonne la fonction d'origine presque partout, et pour une troncature finie, elle garantit l'erreur quadratique moyenne minimale. La transformée de Fourier rapide utilise la symétrie des racines complexes de l'unité, en réduisant récursivement le calcul d'une TFD à N points à deux TFD à N/2 points, ce qui accélère radicalement le traitement. En physique, la décomposition en harmoniques est utilisée pour l'analyse de séries temporelles (astronomie), la composition modale des faisceaux laser, le diagnostic des plasmas et la résolution de l'équation de Schrödinger.
Compression audio et d'images (MP3, JPEG), analyse des vibrations dans les structures, traitement des données sismiques et calcul quantique.
Lors de la décomposition d'un signal rectangulaire en série de Fourier, la somme de toutes les harmoniques impaires donne une forme en escalier qui, à mesure que le nombre de termes augmente, se rapproche d'un rectangle, mais aux points de discontinuité, il subsiste des « pics » d'une hauteur d'environ 9 % de l'amplitude du signal — c'est le phénomène de Gibbs, qui apparaît dans toutes les séries avec des discontinuités.
| \tilde{\kappa} | variable | Fourier transform of convergence — convergence |
| \tilde{\kappa}_B | variable | Fourier transform of B-mode convergence — b mode convergence |
| \tilde{\gamma}_1 | variable | Fourier transform of first shear component — shear component |
| \tilde{\gamma}_2 | variable | Fourier transform of second shear component — shear component |
| k_1 | variable | First component of wave vector — wave vector component radian per metre |
| k_2 | variable | Second component of wave vector — wave vector component radian per metre |
| k | variable | Magnitude of wave vector — nombre d'onde radian per metre |
| x_t | variable | value of the process at time t — time series value |
| x_{t-1} | variable | value of the process at previous time — time series value |
| \phi | variable | autoregressive coefficient — autoregressive coefficient |
| \epsilon_t | variable | white noise innovation at time t — noise term |
| \sigma^2 | variable | variance of the noise — variance |
