A path integral is a quantum mechanical method that sums over all possible paths a particle can take between two points.L'intégrale de chemin abandonne la trajectoire unique au profit de la superposition de tous les chemins possibles. Au lieu de l'équation différentielle de Schrödinger, on utilise une sommation directe des amplitudes : chaque chemin contribue avec un poids complexe exp(iS/ħ), où S est l'action classique. L'interférence quantique met en évidence les chemins pour lesquels l'action ne varie presque pas (principe de moindre action), ce qui permet de retrouver la mécanique classique. La méthode s'est révélée universelle : elle décrit aussi bien les particules élémentaires que les fluctuations thermiques, et même les trous noirs.
Les premières traces remontent à Paul Dirac, qui en 1933 a remarqué que le propagateur quantique peut s'écrire comme une exponentielle de l'action classique. John Archibald Wheeler a incité son étudiant Richard Feynman à penser que l'amplitude devait être la somme sur tous les chemins. Feynman a développé l'appareil dans sa thèse de 1942 et l'a publié en 1948, révolutionnant l'électrodynamique quantique.
L'idée centrale est la superposition quantique : les amplitudes de toutes les trajectoires virtuelles interfèrent. La phase de chacune est proportionnelle à l'action classique en unités de ħ. Dans la limite ħ→0, la méthode de la phase stationnaire sélectionne une trajectoire unique, rétablissant la deuxième loi de Newton. En théorie quantique des champs, l'intégrale fonctionnelle sur les champs conduit au développement en diagrammes — base des calculs du Modèle standard. Numériquement, l'intégrale est souvent évaluée par la méthode de Monte-Carlo sur réseau après passage au temps imaginaire.
Prévision du comportement des options financières, conception d'ordinateurs quantiques, calcul des propriétés de nouveaux matériaux avant leur synthèse.
Feynman a imaginé l'intégrale de chemin en réfléchissant à la façon dont la lumière pourrait suivre tous les rayons à la fois, comme des fils dans une vitre embuée.
| S_E | variable | Euclidean action — action joule second |
| L_E | variable | Euclidean Lagrangian — Lagrangien joule |
| τ | variable | Euclidean time — temps second |
| ∫ | opérateur | Integration over Euclidean time — opérateur intégral |
| dτ | opérateur | Infinitesimal time element — differential element |
| Ψ | variable | quantum amplitude (transition amplitude or wavefunction) — probability amplitude varies |
| φ | variable | field configuration (path variable) — champ varies |
| S[φ] | variable | action functional of the field configuration — action joule second |
| ℏ | constante | Sets the scale of quantum fluctuations — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| ∫ 𝒟φ | opérateur | sums over all possible histories of the field — functional integral |
| \lambda | variable | mean free path — libre parcours moyen metre |
| n | variable | number density of particles — number density per cubic metre |
| \sigma | variable | collision cross-section — section efficace square metre |
| P(r) | variable | capture probability at radius r — probabilité |
| r | variable | radial coordinate — rayon metre |
| r_c | variable | outer horizon radius — rayon metre |
| r_H | variable | inner horizon radius — rayon metre |
| u | variable | integration variable — rayon metre |
| f(u) | variable | metric function — metric function |
| ∫ | opérateur | computes the area under the curve of the integrand — opérateur intégral |
| √ | opérateur | computes the principal square root — racine carrée |
