Un cadre mathématique qui relie des problèmes quantiques complexes à des problèmes plus simples via des transformations de supersymétrie.La mécanique quantique supersymétrique est un cadre mathématique qui révèle une symétrie cachée dans certains systèmes quantiques, permettant de transformer un problème complexe en un problème plus simple. Elle a été initialement inspirée par la supersymétrie de la physique des particules, qui apparie bosons et fermions, mais en mécanique quantique, elle fournit un outil puissant pour résoudre exactement les équations de Schrödinger pour une large classe de potentiels. L'idée clé est que pour de nombreux potentiels, il existe un potentiel partenaire ayant le même spectre d'énergie, à l'exception de l'état fondamental. En itérant ce processus, on peut générer une chaîne de potentiels résolubles et obtenir des fonctions d'onde et des niveaux d'énergie exacts.
La mécanique quantique supersymétrique a été développée en 1981 par Edward Witten, qui l'a introduite comme un modèle jouet pour étudier la brisure de supersymétrie en théorie quantique des champs, puis elle a été étendue par Gendenshtein et d'autres pour résoudre des potentiels exactement résolubles.
Le cadre introduit deux opérateurs, A et A†, qui agissent comme des opérateurs d'échelle reliant les états propres de deux hamiltoniens partenaires, H1 et H2. Si H1 a un état fondamental connu, alors H2 partage tous ses états excités avec H1, mais ne possède pas l'état fondamental. Cette relation permet de résoudre H2 à partir de H1, et vice versa. La méthode révèle également une structure algébrique cachée, souvent liée à l'invariance de forme, qui fournit un moyen systématique de trouver des solutions exactes pour des potentiels comme l'oscillateur harmonique, le potentiel de Coulomb, et bien d'autres.
Elle est utilisée en physique théorique pour résoudre exactement des problèmes de mécanique quantique, et en chimie quantique et en physique de la matière condensée pour approximer les spectres de systèmes complexes, ainsi que dans l'étude des modèles intégrables.
La condition d'invariance de forme, un cas particulier de la mécanique quantique supersymétrique, permet de résoudre l'atome d'hydrogène sans jamais écrire la fonction d'onde complète, simplement en utilisant des opérateurs d'échelle algébriques.
