Модулярная форма — это комплексная аналитическая функция, которая преобразуется определённым образом под действием дискретной группы.Модулярная форма — голоморфная функция на верхней комплексной полуплоскости, удовлетворяющая функциональному уравнению f((az+b)/(cz+d)) = (cz+d)^k f(z) для всех матриц из модулярной группы SL(2,Z) и обладающая определёнными условиями роста. Вес k — целое число. Модулярные формы образуют конечномерные векторные пространства, и их ряды Фурье содержат глубокую арифметическую информацию.
Истоки теории модулярных форм восходят к работам Гаусса и Эйзенштейна, но систематическое изучение началось в конце XIX века с Пуанкаре, который ввёл общее понятие автоморфных форм. Феликс Клейн исследовал модулярные функции в связи с икосаэдром. В XX веке Хекке развил теорию операторов, Рамануджан открыл глубокие свойства τ-функции, а позже гипотеза Таниямы–Шимуры о модулярности эллиптических кривых привела к доказательству Эндрю Уайлсом Великой теоремы Ферма. Современное развитие включает программу Ленглендса и модулярность всех эллиптических кривых над ℚ.
Модулярная форма — это сечение некоторого линейного расслоения над модулярной кривой. Функциональное уравнение гарантирует, что функция хорошо преобразуется под действием модулярной группы, а голоморфность и условие роста означают гладкость и конечность в каспсах. Ряды Фурье позволяют выразить форму через коэффициенты a_n, которые часто несут арифметический смысл (например, количество точек на эллиптической кривой над конечным полем). Связь с эллиптическими кривыми осуществляется через модулярность: каждой эллиптической кривой соответствует модулярная форма, чьё L-ряды совпадают. Это используется в доказательстве теоремы Ферма. Модулярные формы также порождают представления группы GL(2) над аделями.
Доказательство Великой теоремы Ферма, коды с исправлением ошибок, основа для теории струн и квантовых инвариантов.
Дзета-функция Римана, загадочная функция о распределении простых чисел, тесно связана с модулярными формами через модулярную форму, называемую тэта-функцией.
| x | переменная | Последовательность в нормированном пространстве — sequence |
| \lambda | переменная | Параметр масштабирования — scaling parameter |
| n | переменная | Индекс элемента последовательности — index |
| \inf | оператор | Берёт точную нижнюю грань множества — infimum |
| \sum_{n=1}^\infty | оператор | Суммирует члены последовательности — series summation |
| f | переменная | скалярное значение функции — значение функции |
| x | переменная | входной вектор — vector argument |
| Q | переменная | матрица квадратичных коэффициентов — quadratic coefficient matrix |
| b | переменная | вектор линейных коэффициентов — linear coefficient vector |
| c | переменная | постоянный член — constant term |
| T | оператор | переворачивает матрицу или вектор относительно её диагонали — transpose operator |
| s | переменная | Комплексный аргумент L-функции |
| n | переменная | Индекс суммирования (целое положительное число) |
| χ | переменная | Характер Дирихле по модулю некоторого целого числа |
| ∑ | оператор | Сумма по целым положительным числам — суммирование |
| Y | переменная | наблюдаемый отклик — response variable |
| X | переменная | входные признаки — feature vector |
| f | переменная | истинная лежащая в основе функция — function |
| ε | переменная | член шума — noise |
| D | переменная | функция монотонного преобразования — monotonic function |
