Функция Вигнера — это квазивероятностное распределение, представляющее квантовые состояния в фазовом пространстве.Функция Вигнера — представление квантового состояния в фазовом пространстве (пространстве координат и импульсов). Это квазивероятностное распределение: проинтегрировав по импульсам, получаем вероятность для координат, и наоборот. Однако, в отличие от настоящей вероятности, она способна уходить в минус. Отрицательные области — свидетельство квантовых корреляций и неклассичности. Их используют как ресурс в квантовых вычислениях. Карта функции Вигнера, пусть и с отрицательными вершинами, остаётся самым детальным снимком квантовой реальности.
Предложена венгерско-американским физиком Юджином Вигнером в 1932 году как мост между квантовой и классической статистической механикой. Позднее стала ключевым инструментом квантовой оптики и квантовой информации. Экспериментальное измерение функции Вигнера стало возможным с развитием гомодинной томографии в 1990-х.
Функция Вигнера для чистого состояния с волновой функцией \(\psi(x)\) определяется как \\(W(x,p) = \frac{1}{\pi \hbar} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x+y) \psi(x-y) e^{2i p y / \hbar} dy\\). Для смешанных состояний аналогично с матрицей плотности. Принцип неопределённости Гейзенберга проявляется в ограничениях на возможные формы распределения. Отрицательность — прямое следствие принципа суперпозиции и не может быть устранена никаким классическим смешиванием.
Функция Вигнера помогает разрабатывать квантовые компьютеры — она выявляет ошибки в кубитах и позволяет строить точные томографические снимки квантовых состояний.
Отрицательность функции Вигнера — точный индикатор того, что квантовое состояние нельзя эффективно смоделировать на классическом компьютере (квантовое превосходство).
| W | переменная | функция Вигнера квантового состояния — функция Вигнера |
| X | переменная | координатная квадратурная переменная — положение м |
| P | переменная | импульсная квадратурная переменная — импульс кг·м/с |
| ∫ dX dP | оператор | интегрирование по всему фазовому пространству — double integral |
| | | | оператор | абсолютное значение функции Вигнера — абсолютная величина |
| r | переменная | расстояние между двумя точками — расстояние м |
| ν | переменная | параметр гладкости |
| l | переменная | параметр масштаба длины — длина м |
| σ | переменная | амплитуда дисперсии — дисперсия м² |
| Γ | оператор | Гамма-функция, обобщение факториала — gamma function |
| K_ν | оператор | Модифицированная функция Бесселя второго рода порядка ν — modified bessel function second kind |
