The axiom of choice is a mathematical principle asserting that from any collection of non-empty sets, one can select an element from each set.L'axiome du choix est l'une des assertions de la théorie des ensembles, postulant l'existence d'une fonction de choix sur toute famille d'ensembles non vides. Autrement dit, pour toute collection (éventuellement infinie) d'ensembles non vides deux à deux disjoints, il existe un ensemble contenant exactement un élément de chaque ensemble de cette collection. Pour un nombre fini d'ensembles, il semble trivial, mais pour les infinis, il donne un résultat non constructif : on sait que le choix est possible, mais on ne peut pas le décrire. Il est équivalent au principe du bon ordre de Zermelo et au lemme de Zorn.
Explicitée pour la première fois par Ernst Zermelo en 1904 pour démontrer que tout ensemble peut être bien ordonné. Cette assertion fut immédiatement contestée par Émile Borel, Henri Lebesgue et d'autres analystes de premier plan. En 1938, Kurt Gödel montra que AC ne contredit pas ZF, et en 1963, Paul Cohen prouva que la négation d'AC est également compatible avec ZF. Ainsi, l'axiome du choix est indépendant. Aujourd'hui, l'écrasante majorité des mathématiciens utilisent AC, bien qu'il existe des approches alternatives (constructivisme, théorie des topos) qui l'évitent.
Fonctionnellement, AC permet des constructions non constructives. Dans les démonstrations de théorèmes, on dit souvent : « Pour chaque i, choisissons un élément x_i dans l'ensemble A_i » sans préciser de règle de choix. Ceci est correct si l'axiome du choix est accepté. Sans lui, de tels raisonnements ne sont pas valables. Exemple typique : la démonstration de l'existence d'une base de Hamel dans un espace vectoriel arbitraire — on choisit successivement des vecteurs linéairement indépendants, et aux étapes infinies, AC est nécessaire. Techniquement, l'axiome n'indique pas comment trouver le choix, il postule simplement son existence.
Fondement de nombreux théorèmes en mathématiques : sans lui, on ne peut pas prouver que tout espace vectoriel possède une base, ni que le produit de Tychonoff d'espaces compacts est compact. Utilisé en analyse, topologie, logique.
Avec l'axiome du choix, on peut mathématiquement « doubler » une boule : la couper en un nombre fini de morceaux, les déplacer et obtenir deux boules de même rayon. Ce paradoxe de Banach-Tarski montre à quel point l'axiome est puissant et contre-intuitif.
