A category is a mathematical structure consisting of objects and morphisms that relate them.Formalmente, una categoría consiste en una clase de objetos y, para cada par de objetos, un conjunto de morfismos (flechas que indican transformaciones permitidas) con una operación de composición. La composición es asociativa: si se aplican las flechas f, luego g y luego h, no importa si se agrupan como h después de (g después de f) o como (h después de g) después de f. Para cada objeto existe una flecha identidad que lo deja inalterado. La esencia de la teoría es ignorar la estructura interna de los objetos y concentrarse en las relaciones entre ellos, lo que proporciona un lenguaje universal para construir cosas como el producto de objetos (una forma de combinar dos objetos) o el colímite (una forma de unir información de varios objetos).
Las categorías surgieron en los trabajos de Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane (1942–1945) sobre la axiomatización de las transformaciones naturales en topología algebraica. En los años 1950–60, Alexander Grothendieck reformuló la geometría algebraica en lenguaje categórico e introdujo la noción de topos. William Lawvere desarrolló la lógica categórica. Desde los años 1980, las categorías se aplican activamente en ciencias de la computación (por ejemplo, mónadas en programación funcional). En el siglo XXI han aparecido aplicaciones en física cuántica (mecánica cuántica categórica) y teoría de tipos.
El funcionamiento se basa en los axiomas de composición y en las propiedades universales. Por ejemplo, el producto de dos objetos A y B en una categoría no se define mediante construcción, sino mediante una propiedad: es un objeto P junto con un par de proyecciones p₁: P→A, p₂: P→B, tal que para cualquier objeto X con morfismos f: X→A y g: X→B existe un único morfismo h: X→P que hace conmutar el diagrama. Esto permite demostrar teoremas sin referirse a los elementos de los objetos. El principio de dualidad (invertir todas las flechas) duplica la cantidad de enunciados demostrables.
Este enfoque facilita la transferencia de ideas entre distintas ramas de las matemáticas. En informática, las categorías se utilizan para la verificación estricta de tipos de programas, y en física, para modelar la computación cuántica.
A la teoría de categorías a veces se la llama en broma “disparate abstracto” (abstract nonsense), subrayando su generalidad extrema que, sin embargo, ha proporcionado un fundamento riguroso a muchas áreas de las matemáticas.
| w_1 | variable | weight for a — peso |
| a | variable | first value |
| w_2 | variable | weight for b — peso |
| b | variable | second value |
| X | variable | first random variable — variable aleatoria |
| Y | variable | second random variable — variable aleatoria |
| Var(X) | variable | variance of X — varianza |
| Var(Y) | variable | variance of Y — varianza |
| Var(X+Y) | variable | variance of the sum X+Y — varianza |
| U | variable | open set (topological space) — topological space |
| r | variable | number of independent Z/2Z factors — rank |
| X | variable | a set — set |
| κ | variable | a cardinal number — cardinal number |
| |X| | operador | cardinality of the set X — cardinality |
| cf(κ) | operador | cofinality of the cardinal κ — cofinality |
