Una representación de un objeto de mayor dimensión sobre una superficie de menor dimensión.La proyección, en el contexto de la geometría y la física, es la operación matemática que mapea un objeto de mayor dimensión sobre una superficie de menor dimensión. Este concepto es fundamental en muchas áreas, desde la cartografía (mapear la Tierra tridimensional en un mapa bidimensional) hasta la física teórica, donde se utiliza para visualizar o analizar espacios de dimensiones superiores, como en la teoría de cuerdas o la relatividad general. Una proyección puede ser ortogonal, donde el mapeo es perpendicular a la superficie objetivo, o en perspectiva, donde las líneas convergen en un punto. El resultado es una representación de menor dimensión que puede preservar ciertas propiedades, como ángulos o áreas, pero generalmente pierde algo de información sobre el objeto original.
El concepto de proyección tiene raíces en la geometría griega antigua, con la proyección estereográfica atribuida a Hiparco y utilizada para cartas estelares. El tratamiento matemático formal se desarrolló en el siglo XIX con la geometría proyectiva, iniciada por Jean-Victor Poncelet y otros.
Matemáticamente, una proyección es una transformación lineal que es idempotente: aplicarla dos veces da el mismo resultado que aplicarla una vez. En términos prácticos, implica tomar cada punto del objeto de mayor dimensión y encontrar su punto correspondiente en la superficie de menor dimensión a lo largo de una dirección especificada o desde un punto de vista especificado. Por ejemplo, un cubo tridimensional se puede proyectar sobre un plano bidimensional dibujando líneas desde cada vértice perpendiculares al plano, resultando en un cuadrado o un hexágono dependiendo de la orientación. En física, las proyecciones se utilizan para descomponer vectores en componentes, para reducir la dimensionalidad de un sistema o para extraer cantidades observables de teorías de dimensiones superiores.
Las proyecciones se utilizan en gráficos por computadora para renderizar escenas tridimensionales en pantallas bidimensionales, en imágenes médicas para reconstruir estructuras tridimensionales a partir de escaneos bidimensionales, y en física para analizar sistemas con simetrías proyectando sobre subespacios invariantes.
En cartografía, ningún mapa plano puede preservar todas las propiedades de la superficie terrestre, un hecho demostrado por la imposibilidad de una proyección perfecta, lo que lleva a los famosos compromisos en las proyecciones de mapas como Mercator (preserva ángulos) y Peters (preserva áreas).

