A modular form is a complex analytic function that transforms in a specific way under the action of a discrete group.Una forma modular es una función holomorfa en el semiplano complejo superior que satisface la ecuación funcional f((az+b)/(cz+d)) = (cz+d)^k f(z) para todas las matrices del grupo modular SL(2,Z) y que posee ciertas condiciones de crecimiento. El peso k es un número entero. Las formas modulares forman espacios vectoriales de dimensión finita, y sus series de Fourier contienen información aritmética profunda.
Los orígenes de la teoría de formas modulares se remontan a los trabajos de Gauss y Eisenstein, pero el estudio sistemático comenzó a finales del siglo XIX con Poincaré, quien introdujo el concepto general de formas automorfas. Felix Klein investigó las funciones modulares en relación con el icosaedro. En el siglo XX, Hecke desarrolló la teoría de operadores, Ramanujan descubrió propiedades profundas de la función τ, y más tarde la conjetura de Taniyama–Shimura sobre la modularidad de las curvas elípticas llevó a la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat. El desarrollo moderno incluye el programa de Langlands y la modularidad de todas las curvas elípticas sobre ℚ.
Una forma modular es una sección de un cierto fibrado lineal sobre la curva modular. La ecuación funcional garantiza que la función se transforma bien bajo la acción del grupo modular, y la holomorfía junto con la condición de crecimiento implican suavidad y finitud en las cúspides. Las series de Fourier permiten expresar la forma mediante coeficientes a_n, que a menudo tienen significado aritmético (por ejemplo, el número de puntos en una curva elíptica sobre un cuerpo finito). La conexión con las curvas elípticas se realiza a través de la modularidad: a cada curva elíptica le corresponde una forma modular cuyas series L coinciden. Esto se utiliza en la demostración del teorema de Fermat. Las formas modulares también generan representaciones del grupo GL(2) sobre los adeles.
Demostración del último teorema de Fermat, códigos correctores de errores, base para la teoría de cuerdas e invariantes cuánticos.
La función zeta de Riemann, la misteriosa función sobre la distribución de los números primos, está estrechamente relacionada con las formas modulares a través de una forma modular llamada función theta.
| x | variable | Sequence in normed space — sequence |
| \lambda | variable | Scaling parameter — scaling parameter |
| n | variable | Index of sequence element — index |
| \inf | operador | Takes the greatest lower bound of a set — infimum |
| \sum_{n=1}^\infty | operador | Adds terms of a sequence — series summation |
| f | variable | scalar function value — valor de la función |
| x | variable | input vector — vector argument |
| Q | variable | quadratic coefficient matrix — quadratic coefficient matrix |
| b | variable | linear coefficient vector — linear coefficient vector |
| c | variable | constant term — constant term |
| T | operador | flips a matrix or vector over its diagonal — transpose operator |
| s | variable | Complex argument of the L-function |
| n | variable | Summation index (positive integer) |
| χ | variable | Dirichlet character modulo some integer |
| ∑ | operador | Sum over positive integers — suma |
| Y | variable | observed response — response variable |
| X | variable | input features — feature vector |
| f | variable | true underlying function — function |
| ε | variable | noise term — noise |
| D | variable | monotonic transformation function — monotonic function |
