densité spectrale de puissance — anatomie d'une formuleLa densité spectrale de puissance (DSP) décrit comment la puissance d'un signal ou d'une série temporelle est répartie entre différentes fréquences. Plutôt que de vous donner la puissance totale, elle vous indique la quantité de puissance présente dans chaque bande de fréquences. Cela est essentiel pour analyser tout, des ondes sonores aux transmissions radio, en passant par le bruit quantique, car cela révèle les périodicités sous-jacentes et les fluctuations aléatoires qu'une simple moyenne masquerait.
Le concept a été formalisé au début du XXe siècle, avec Norbert Wiener (1930) et Alexandre Khintchine (1934) qui ont démontré indépendamment la relation entre l'autocorrélation et la DSP. Il est devenu un outil standard en génie électrique et en physique après l'essor de l'analyse spectrale dans les années 1940.
Pour un signal x(t), la DSP est calculée via la transformée de Fourier : c'est le carré du module de la transformée, souvent normalisé par le temps. Pour les processus aléatoires stationnaires, le théorème de Wiener-Khintchine stipule que la DSP est la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation. En pratique, on prend une série temporelle, on la divise en segments, on calcule leurs transformées de Fourier, et on fait la moyenne des carrés des modules pour réduire le bruit.
Utilisée en télécommunications pour concevoir des filtres, en astrophysique pour analyser les fluctuations du fond diffus cosmologique, en acoustique pour caractériser le bruit, et en optique quantique pour étudier les statistiques des photons.
La DSP du bruit blanc est plate — elle a une puissance égale à toutes les fréquences, c'est pourquoi il sonne comme un sifflement et ressemble à une ligne droite sur un analyseur de spectre.
| S_I | variable | power spectral density of current noise — densité spectrale de puissance ampere squared per hertz |
| e | variable | elementary charge — charge élémentaire coulomb |
| I | variable | average electric current — courant électrique ampere |
| \text{ASD}(f) | variable | Amplitude spectral density at frequency f — amplitude spectral density per root hertz |
| S(f) | variable | Power spectral density at frequency f — densité spectrale de puissance per hertz |
| f | variable | Frequency — fréquence hertz |
| \sqrt{} | opérateur | Mathematical operation taking the square root — racine carrée |
| S(f) | variable | Power spectral density as a function of frequency — densité spectrale de puissance watt per hertz |
| f | variable | Frequency — fréquence hertz |
| β | variable | Spectral exponent, typically near 1 |
| C_{xy}(f) | variable | Magnitude squared coherence at frequency f — cohérence |
| P_{xy}(f) | variable | Cross-spectral density between signals x and y at frequency f — cross spectral density watt per hertz |
| P_{xx}(f) | variable | Power spectral density of signal x at frequency f — densité spectrale de puissance watt per hertz |
| P_{yy}(f) | variable | Power spectral density of signal y at frequency f — densité spectrale de puissance watt per hertz |
| | \cdot | | opérateur | Magnitude (absolute value) of a complex number — valeur absolue |
