матричный элемент — из анатомии формулВ квантовой механике матричный элемент — это комплексное число, которое количественно описывает амплитуду вероятности перехода между двумя квантовыми состояниями под действием оператора. Он является центральным объектом в теории возмущений, теории рассеяния и при вычислении наблюдаемых величин, таких как скорости переходов и сечения. Матричный элемент кодирует «силу» связи между состояниями, например, взаимодействие атома с электромагнитным полем или распад частицы.
Концепция была разработана в конце 1920-х годов Максом Борном, Вернером Гейзенбергом и Паскуалем Йорданом в рамках матричной механики — первой полной формулировки квантовой механики. Позже она была интегрирована в бра-кет обозначения Дирака, которые сейчас являются стандартными.
Формально матричный элемент записывается как ⟨ψ_f|Ô|ψ_i⟩, где |ψ_i⟩ и |ψ_f⟩ — начальное и конечное квантовые состояния, а Ô — оператор, представляющий физическую величину или взаимодействие. Значение вычисляется интегрированием произведения комплексно-сопряженного конечного состояния и оператора, действующего на начальное состояние, по всему конфигурационному пространству. Квадрат модуля матричного элемента дает вероятность перехода, которая затем используется в золотом правиле Ферми для вычисления скоростей.
Матричные элементы используются для вычисления скоростей распада радиоактивных ядер, сечений рассеяния в физике частиц, а также спектров поглощения и испускания в атомной и молекулярной физике.
В физике частиц матричный элемент для такого процесса, как аннигиляция электрона и позитрона, часто вычисляется с помощью диаграмм Фейнмана, где каждая диаграмма дает вклад в полный матричный элемент.
| A(ω) | переменная | значение спектральной функции при энергии ω — spectral function |
| ω | переменная | энергетическая переменная (частота) — энергия Дж |
| n | переменная | индекс, нумерующий возбуждённые собственные состояния |
| |n⟩ | переменная | возбуждённое собственное состояние системы — квантовое состояние |
| |0⟩ | переменная | основное состояние системы — квантовое состояние |
| O | переменная | оператор, возбуждения которого исследуются — operator |
| E_n | переменная | энергия возбуждённого состояния n — энергия Дж |
| E_0 | переменная | энергия основного состояния — энергия Дж |
| ⟨n|O|0⟩ | оператор | скалярное произведение состояний с применённым оператором — матричный элемент |
| δ(...) | оператор | выделяет только вклады при точной разности энергий — dirac delta |
| ∑_n | оператор | суммирует вклады от всех возможных возбуждений — суммирование |
| E_n | переменная | Возмущённая энергия состояния n — энергия Дж |
| E_n^{(0)} | переменная | Невозмущённая энергия состояния n — энергия Дж |
| E_m^{(0)} | переменная | Невозмущённая энергия состояния m — энергия Дж |
| H' | переменная | Гамильтониан возмущения — гамильтониан Дж |
| |n^{(0)}\rangle | переменная | Невозмущённое состояние n — квантовое состояние |
| |m^{(0)}\rangle | переменная | Невозмущённое состояние m — квантовое состояние |
| \sum_{m \neq n} | оператор | Сумма по всем состояниям m, кроме n — суммирование |
| \langle m^{(0)} | H' | оператор | Матричный элемент возмущения между невозмущёнными состояниями — матричный элемент |
| \Gamma_{i\to f} | переменная | Скорость перехода из начального состояния i в конечное состояние f — transition rate 1/с |
| \psi_i | переменная | Начальное квантовое состояние — волновая функция |
| \psi_f | переменная | Конечное квантовое состояние — волновая функция |
| H' | переменная | Гамильтониан возмущения — perturbation hamiltonian Дж |
| \rho(E_f) | переменная | Плотность конечных состояний при энергии E_f — плотность состояний 1/Дж |
| \hbar | константа | Приведённая постоянная Планка, связывающая энергию с угловой частотой — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с |
| \langle \psi_f | H' | оператор | Матричный элемент возмущения между начальным и конечным состояниями — матричный элемент |