Une matrice dont les entrées sont les variances et covariances de plusieurs variables.Une matrice de covariance est une matrice carrée qui résume la manière dont plusieurs variables varient ensemble. Chaque entrée diagonale donne la variance d'une variable unique — à quel point elle s'écarte de sa moyenne — tandis que chaque entrée hors diagonale donne la covariance entre deux variables, indiquant si elles tendent à augmenter ou diminuer ensemble. Pour un ensemble de n variables, la matrice est de taille n×n, et elle est symétrique car la covariance entre la variable A et la variable B est la même qu'entre B et A.
Le concept de covariance a été formalisé par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle, et la forme matricielle est devenue standard en statistique multivariée au cours du XXe siècle.
Pour construire la matrice, on calcule la moyenne du produit des écarts par rapport aux moyennes pour chaque paire de variables. Si deux variables évoluent dans le même sens, leur covariance est positive ; si elles évoluent en sens opposé, elle est négative ; si elles sont indépendantes, elle est proche de zéro. La matrice encode de manière compacte toutes les relations par paires, et ses valeurs propres et vecteurs propres révèlent les directions principales de variation des données — la base de l'analyse en composantes principales.
Elle est utilisée en apprentissage automatique pour la réduction de dimensionnalité, en finance pour l'évaluation du risque de portefeuille, et en physique pour l'analyse de mesures corrélées dans les expériences.
La matrice de covariance d'une distribution normale multivariée détermine entièrement la forme et l'orientation de son nuage de probabilité, d'une sphère à un ellipsoïde étiré.
