Распределение времени ожидания между событиями, происходящими с постоянной скоростью; закон радиоактивного распада.Экспоненциальное распределение моделирует время между событиями в процессе, где события происходят непрерывно и независимо с постоянной средней скоростью. Оно является непрерывным аналогом геометрического распределения и обладает свойством отсутствия памяти: вероятность ожидания ещё одной минуты не зависит от того, сколько вы уже прождали. Это делает его естественной моделью для радиоактивного распада, где каждый атом имеет постоянную вероятность распада в единицу времени.
Распределение было впервые выведено французским математиком Симеоном Дени Пуассоном в начале XIX века, хотя позже оно было формализовано в контексте радиоактивного распада Эрнестом Резерфордом и Гансом Гейгером в 1910 году.
Если события происходят со скоростью λ в единицу времени, функция плотности вероятности имеет вид f(t) = λ * e^(-λt) для t ≥ 0. Среднее время ожидания равно 1/λ, а дисперсия равна 1/λ². Свойство отсутствия памяти означает, что P(T > t+s | T > s) = P(T > t), что уникально для экспоненциального распределения среди непрерывных распределений.
Оно используется в теории надёжности для моделирования срока службы компонентов, в теории массового обслуживания для времени обслуживания и в финансах для моделирования времени между сделками.
Экспоненциальное распределение — единственное непрерывное распределение со свойством отсутствия памяти, то есть лампочка, проработавшая 1000 часов, не более вероятно выйдет из строя в следующий час, чем новая.

