A Lagrangian is a mathematical function used to describe the dynamics of a system, often applied in optimization and motion analysis.Le Lagrangien est une fonction qui dépend des coordonnées et des vitesses de toutes les parties du système. Au lieu de considérer les forces, comme en mécanique newtonienne, on opère ici avec des énergies : cinétique (énergie de mouvement) et potentielle (énergie de position). Du principe de moindre action, il découle que le mouvement réel du système se produit de telle manière que la différence totale de ces énergies le long de la trajectoire soit minimale. Cette approche est particulièrement commode pour les systèmes avec des contraintes, par exemple un pendule sur un fil inextensible, et permet d'en déduire les équations du mouvement (équations d'Euler-Lagrange).
D'abord exposé par Joseph-Louis Lagrange dans la « Mécanique analytique » (1788) dans le but de construire une mécanique sans constructions géométriques. Au XIXᵉ siècle, William Rowan Hamilton l'a reformulé en formalisme hamiltonien. Henri Poincaré a développé la théorie des systèmes dynamiques. Emmy Noether a démontré en 1918 le théorème reliant les symétries continues du Lagrangien aux grandeurs conservées. En théorie quantique des champs, le Lagrangien est devenu la base du Modèle standard.
Pour un système avec des coordonnées généralisées q_i, le Lagrangien s'écrit L(q, q̇, t) = T − V. Les équations d'Euler-Lagrange s'obtiennent en imposant que la variation de l'action soit nulle. Par exemple, pour une particule dans un champ potentiel, L = ½ m ẋ² − V(x). Le théorème de Noether énonce : à chaque symétrie continue du Lagrangien correspond une intégrale du mouvement (énergie, quantité de mouvement, etc.).
Utilisé pour calculer les orbites des planètes, les trajectoires des fusées, optimiser les dispositifs mécaniques et dans les fondements de la théorie quantique.
La méthode de Lagrange a permis de résoudre des problèmes qui étaient trop complexes pour une application directe des lois de Newton, par exemple le mouvement d'un système de nombreux corps avec des contraintes.
| x | variable | Position of the particle — position metre |
| γ | variable | Damping coefficient — damping coefficient per second |
| ω | variable | Natural angular frequency of the oscillator — fréquence angulaire radian per second |
| η(t) | variable | Random force (noise) as a function of time — random force newton per kilogram |
| d²/dt² | opérateur | Second derivative with respect to time — second time derivative |
| d/dt | opérateur | First derivative with respect to time — first time derivative |
| r | variable | distance between two points — distance metre |
| ν | variable | smoothness parameter |
| l | variable | length scale parameter — longueur metre |
| σ | variable | variance amplitude — variance square metre |
| Γ | opérateur | Gamma function, generalizes factorial — gamma function |
| K_ν | opérateur | Modified Bessel function of the second kind of order ν — modified bessel function second kind |
| S_E | variable | Euclidean action — action joule second |
| L_E | variable | Euclidean Lagrangian — Lagrangien joule |
| τ | variable | Euclidean time — temps second |
| ∫ | opérateur | Integration over Euclidean time — opérateur intégral |
| dτ | opérateur | Infinitesimal time element — differential element |
