Точка в функции, где наклон равен нулю, но она не является локальным экстремумом.Седловая точка — это точка на поверхности или в функции, где градиент (наклон) равен нулю, но она не является ни локальным максимумом, ни минимумом. В двумерном случае она выглядит как горный перевал: поверхность поднимается в одном направлении и опускается в другом, напоминая седло лошади. В пространствах большей размерности седловые точки встречаются чаще, чем экстремумы, и играют ключевую роль в оптимизации, физике и теории игр.
Концепция была формализована в XIX веке математиками, такими как Жозеф-Луи Лагранж и Карл Фридрих Гаусс, которые изучали поверхности и критические точки. Термин «седловая точка» стал стандартным в начале XX века.
Математически в седловой точке все частные производные равны нулю, но критерий второй производной не даёт определённого ответа: матрица Гессе имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения. Это означает, что движение в одном направлении увеличивает функцию, а в другом — уменьшает. В алгоритмах оптимизации седловые точки проблематичны, поскольку градиентный спуск может застрять в них, принимая их за минимумы. В физике седловые точки появляются в ландшафтах потенциальной энергии, где они соответствуют неустойчивым состояниям равновесия, таким как вершина барьера между двумя стабильными конфигурациями.
Седловые точки играют центральную роль в машинном обучении, где обучение нейронных сетей включает навигацию по многомерным ландшафтам потерь, заполненным седловыми точками. В физике они используются в теории переходного состояния для расчёта скоростей реакций.
В шахматах теорема о минимаксе гарантирует, что каждая конечная игра с нулевой суммой для двух игроков имеет седловую точку в смешанных стратегиях, то есть существует значение, которого оба игрока могут достичь при оптимальной игре.
