Una matriz cuyas entradas son las varianzas y covarianzas de varias variables.Una matriz de covarianza es una matriz cuadrada que resume cómo varían conjuntamente varias variables. Cada entrada diagonal da la varianza de una sola variable — cuánto se dispersa alrededor de su media — mientras que cada entrada fuera de la diagonal da la covarianza entre dos variables, indicando si tienden a aumentar o disminuir juntas. Para un conjunto de n variables, la matriz es de n×n, y es simétrica porque la covarianza entre la variable A y B es la misma que entre B y A.
El concepto de covarianza fue formalizado por Karl Pearson a finales del siglo XIX, y la forma matricial se convirtió en estándar en la estadística multivariante durante el siglo XX.
Para construir la matriz, se calcula el promedio del producto de las desviaciones respecto a las medias para cada par de variables. Si dos variables se mueven en la misma dirección, su covarianza es positiva; si en direcciones opuestas, negativa; si no están relacionadas, cercana a cero. La matriz codifica de manera compacta todas las relaciones por pares, y sus valores propios y vectores propios revelan las direcciones principales de variación en los datos — la base del análisis de componentes principales.
Se utiliza en el aprendizaje automático para la reducción de dimensionalidad, en finanzas para la evaluación del riesgo de carteras, y en física para analizar mediciones correlacionadas en experimentos.
La matriz de covarianza de una distribución normal multivariante determina por completo la forma y la orientación de su nube de probabilidad, desde una esfera hasta un elipsoide alargado.
