La distribution des temps d'attente entre des événements qui se produisent à un taux constant ; la loi de la désintégration radioactive.La loi exponentielle modélise le temps entre des événements dans un processus où ceux-ci se produisent de manière continue et indépendante à un taux moyen constant. C'est l'analogue continu de la loi géométrique et elle est sans mémoire : la probabilité d'attendre encore une minute ne dépend pas du temps déjà écoulé. Cela en fait le modèle naturel pour la désintégration radioactive, où chaque atome a une probabilité constante de se désintégrer par unité de temps.
Cette loi a été dérivée pour la première fois par le mathématicien français Siméon Denis Poisson au début du XIXe siècle, mais elle a été formalisée plus tard dans le contexte de la désintégration radioactive par Ernest Rutherford et Hans Geiger en 1910.
Si les événements se produisent à un taux λ par unité de temps, la fonction de densité de probabilité est f(t) = λ * e^(-λt) pour t ≥ 0. Le temps d'attente moyen est 1/λ, et la variance est 1/λ². La propriété de perte de mémoire signifie que P(T > t+s | T > s) = P(T > t), ce qui est unique à la loi exponentielle parmi les distributions continues.
Elle est utilisée en ingénierie de fiabilité pour modéliser la durée de vie des composants, en théorie des files d'attente pour les temps de service, et en finance pour modéliser le temps entre les transactions.
La loi exponentielle est la seule distribution continue avec la propriété de perte de mémoire, ce qui signifie qu'une ampoule qui a duré 1000 heures n'est pas plus susceptible de tomber en panne dans l'heure suivante qu'une ampoule neuve.
