La distribution d'une quantité dont le logarithme est gaussien ; elle provient de processus multiplicatifs.La distribution log-normale décrit une variable aléatoire dont le logarithme suit une loi normale. Elle apparaît naturellement lorsqu'une quantité est le produit de nombreux facteurs positifs indépendants, comme les cours des actions, les niveaux de revenus ou la taille des organismes biologiques. Contrairement à la loi normale, elle est asymétrique vers la droite et ne prend que des valeurs positives, ce qui la rend adaptée aux données qui ne peuvent pas être négatives.
Cette distribution a été étudiée pour la première fois par le mathématicien écossais John Aitchison et ses collègues dans les années 1950, bien que son usage en économie remonte aux travaux de Robert Gibrat en 1931 sur la « loi de l'effet proportionnel ».
Si Y suit une loi normale de moyenne μ et de variance σ², alors X = e^Y suit une loi log-normale. La fonction de densité de probabilité est f(x) = (1/(xσ√(2π))) * exp(-(ln x - μ)²/(2σ²)) pour x > 0. La moyenne de X est exp(μ + σ²/2) et la médiane est exp(μ). L'asymétrie de la distribution augmente avec σ, ce qui la rend fortement dissymétrique pour une grande variance.
Elle est largement utilisée en finance pour modéliser les prix des actifs (par exemple, les rendements boursiers), en sciences de l'environnement pour les concentrations de polluants, et en biologie pour la taille des organismes ou la période d'incubation des maladies.
Le produit de nombreuses variables aléatoires positives indépendantes tend vers une loi log-normale, même si les variables individuelles ne le sont pas, en raison du théorème central limite appliqué à leurs logarithmes.
